广西民族大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
五、（20分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一组标准正交基；
（2）求 $\displaystyle W^{-}$的一组标准正交基；
（3）若 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在 $W$ 中的内射影（即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ），并求 $\displaystyle \alpha$到 $W$ 的距离 $\displaystyle \operatorname{dist}(\alpha, W)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：施密特正交化得到W的一组正交基
令 $\beta_1 = \alpha_1 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 - \varepsilon_3$。计算 $\langle \alpha_2, \beta_1 \rangle = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = 1$，$\langle \beta_1, \beta_1 \rangle = 1^2+1^2+(-1)^2 = 3$。则 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\langle \alpha_2, \beta_1 \rangle}{\langle \beta_1, \beta_1 \rangle} \beta_1 = (\varepsilon_1 - \varepsilon_2 - \varepsilon_3) - \frac{1}{3}(\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_3) = \frac{2}{3}\varepsilon_1 - \frac{4}{3}\varepsilon_2 - \frac{2}{3}\varepsilon_3 = \frac{2}{3}(\varepsilon_1 - 2\varepsilon_2 - \varepsilon_3)$。
公式：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \alpha_k, \beta_i \rangle}{\langle \beta_i, \beta_i \rangle} \beta_i$
提示：注意内积计算时基是标准正交基，因此内积为对应分量乘积之和。
步骤 2/5
目标：单位化得到W的标准正交基
计算 $\|\beta_1\| = \sqrt{3}$，单位化得 $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_3)$。计算 $\|\beta_2\| = \frac{2}{3}\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2} = \frac{2}{3}\sqrt{6}$，单位化得 $\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(\varepsilon_1 - 2\varepsilon_2 - \varepsilon_3)$。因此 $W$ 的一组标准正交基为 $\gamma_1, \gamma_2$。
公式：$\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$
提示：单位化时注意向量的长度计算，不要遗漏系数。
步骤 3/5
目标：求W的正交补W^⊥的一组标准正交基
由于 $V$ 是3维，$W$ 是2维，故 $W^\perp$ 是1维。设 $\gamma_3 = x_1\varepsilon_1 + x_2\varepsilon_2 + x_3\varepsilon_3$ 与 $\gamma_1, \gamma_2$ 正交。由 $\langle \gamma_3, \gamma_1 \rangle = 0$ 得 $x_1 + x_2 - x_3 = 0$；由 $\langle \gamma_3, \gamma_2 \rangle = 0$ 得 $x_1 - 2x_2 - x_3 = 0$。解方程组得 $x_1 = x_3, x_2 = 0$，取 $x_1=1, x_3=1$ 得 $\gamma_3 = \varepsilon_1 + \varepsilon_3$，单位化得 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\varepsilon_1+\varepsilon_3)$。
公式：$W^\perp = \{ v \in V \mid \langle v, w \rangle = 0, \forall w \in W \}$
提示：解线性方程组时注意系数，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：计算α在W上的内射影
内射影 $\beta = \sum_{i=1}^2 \langle \alpha, \gamma_i \rangle \gamma_i$。计算内积：$\langle \alpha, \gamma_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(0\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot(-1)) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$；$\langle \alpha, \gamma_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}(0\cdot1 + 1\cdot(-2) + 2\cdot(-1)) = -\frac{4}{\sqrt{6}} = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$。则 $\beta = -\frac{1}{\sqrt{3}}\gamma_1 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\gamma_2 = -\frac{1}{3}(\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_3) - \frac{2}{3}(\varepsilon_1-2\varepsilon_2-\varepsilon_3) = (-\frac{1}{3}-\frac{2}{3})\varepsilon_1 + (-\frac{1}{3}+\frac{4}{3})\varepsilon_2 + (\frac{1}{3}+\frac{2}{3})\varepsilon_3 = -\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3$。
公式：$\beta = \sum_{i=1}^k \langle \alpha, \gamma_i \rangle \gamma_i$
提示：内积计算时注意符号，合并同类项时小心系数。
步骤 5/5
目标：计算α到W的距离
距离 $\operatorname{dist}(\alpha, W) = \|\alpha - \beta\|$。计算 $\alpha - \beta = (\varepsilon_2+2\varepsilon_3) - (-\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3) = \varepsilon_1 + \varepsilon_3$。其长度 $\|\varepsilon_1+\varepsilon_3\| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$。所以距离为 $\sqrt{2}$。
公式：$\operatorname{dist}(\alpha, W) = \|\alpha - \operatorname{proj}_W \alpha\|$
提示：注意向量减法要逐分量进行，长度计算不要漏掉零分量。
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