广西民族大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
四、（20分）设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的达，证明
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A^{n}=0 \text { 当且仅当 } \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots, n \text {. }
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立特征值与迹的关系
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（计入代数重数）。由于 $A^k$ 的特征值为 $\lambda_1^k, \lambda_2^k, \dots, \lambda_n^k$，且迹等于特征值之和，因此有 $\operatorname{tr}(A^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$。
公式：\operatorname{tr}(A^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k
提示：注意特征值可能重复，但求和时计入重数。
步骤 2/6
目标：证明必要性：由 $A^n=0$ 推出迹为零
若 $A^n = 0$，则 $A$ 是幂零矩阵，其特征值全为 $0$，即 $\lambda_i = 0$ 对所有 $i$。代入 $\operatorname{tr}(A^k) = \sum \lambda_i^k$ 得 $\operatorname{tr}(A^k) = 0$ 对 $k=1,\dots,n$。
提示：幂零矩阵的特征值全为零，但反之不真（除非是Jordan块）。
步骤 3/6
目标：引入特征多项式与牛顿恒等式
考虑特征多项式 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n - c_1 \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n c_n$，其中 $c_k$ 是 $A$ 的 $k$ 阶初等对称函数（即所有 $k$ 阶主子式之和）。牛顿恒等式给出了 $c_k$ 与幂和 $p_k = \operatorname{tr}(A^k)$ 的关系：对于 $k=1,\dots,n$，有 $k c_k + \sum_{i=1}^{k-1} c_i p_{k-i} = p_k$。
公式：k c_k + \sum_{i=1}^{k-1} c_i \operatorname{tr}(A^{k-i}) = \operatorname{tr}(A^k)
提示：牛顿恒等式有多种形式，这里使用的是适用于特征多项式的版本，注意符号。
步骤 4/6
目标：利用迹为零的条件推导系数为零
已知 $\operatorname{tr}(A^k)=0$ 对 $k=1,\dots,n$。对 $k=1$，牛顿恒等式给出 $1 \cdot c_1 = \operatorname{tr}(A)=0$，故 $c_1=0$。假设 $c_1=\cdots=c_{k-1}=0$，则对 $k$，牛顿恒等式简化为 $k c_k = \operatorname{tr}(A^k)=0$，因此 $c_k=0$。由归纳法得 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$。
提示：归纳步骤中，求和项 $\sum_{i=1}^{k-1} c_i p_{k-i}$ 因为 $c_i=0$ 而消失。
步骤 5/6
目标：由特征多项式推出幂零性
由于 $c_1=\cdots=c_n=0$，特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^n$。由 Cayley-Hamilton 定理，$A$ 满足其特征多项式，即 $A^n = 0$。
公式：f(A)=A^n=0
提示：Cayley-Hamilton 定理：矩阵满足其特征多项式。
步骤 6/6
目标：总结结论
必要性已证，充分性已证，因此 $A^n=0$ 当且仅当 $\operatorname{tr}(A^k)=0$ 对 $k=1,2,\dots,n$。
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