广西民族大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
八、（20 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 均为实 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle P(x)=A x^{2}+B x+C, f(x)=\operatorname{det} P(x)$ 表示 $\displaystyle P(x)$ 的行列式，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明：$\displaystyle \lambda$ 的实部是负数，即 $\displaystyle \operatorname{Re}(\lambda)<0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立特征方程
设 $\lambda$ 是 $f(x)=\det P(x)=0$ 的根，则存在非零向量 $\alpha\in\mathbb{C}^n$ 使得 $P(\lambda)\alpha=0$，即 $(A\lambda^2+B\lambda+C)\alpha=0$。
公式：P(\lambda)\alpha=0
提示：注意 $\alpha$ 是复向量，因为 $\lambda$ 可能是复数。
步骤 2/6
目标：左乘共轭转置
左乘 $\alpha^*$（$\alpha$ 的共轭转置）得：$\alpha^*A\alpha\lambda^2+\alpha^*B\alpha\lambda+\alpha^*C\alpha=0$。
公式：\alpha^*A\alpha\lambda^2+\alpha^*B\alpha\lambda+\alpha^*C\alpha=0
提示：由于 $A,B,C$ 是实对称矩阵，$\alpha^*A\alpha$ 是实数。
步骤 3/6
目标：引入正定标量
令 $a=\alpha^*A\alpha>0$，$b=\alpha^*B\alpha>0$，$c=\alpha^*C\alpha>0$，则得到二次方程 $a\lambda^2+b\lambda+c=0$。
公式：a\lambda^2+b\lambda+c=0
提示：正定性保证 $a,b,c>0$。
步骤 4/6
目标：判别式非负情形
若判别式 $\Delta=b^2-4ac\ge0$，则 $\lambda$ 为实数。由韦达定理，$\lambda_1+\lambda_2=-b/a<0$，$\lambda_1\lambda_2=c/a>0$，故两根均为负实数，即 $\operatorname{Re}(\lambda)=\lambda<0$。
公式：\lambda_1+\lambda_2=-b/a,\quad \lambda_1\lambda_2=c/a
提示：注意判别式非负时根为实数，且和负积正推出两根均为负。
步骤 5/6
目标：判别式负情形
若 $\Delta<0$，则 $\lambda$ 为一对共轭复根，实部为 $-b/(2a)<0$，即 $\operatorname{Re}(\lambda)<0$。
公式：\operatorname{Re}(\lambda)=-\frac{b}{2a}
提示：复根实部公式直接由二次方程求根公式得到。
步骤 6/6
目标：综合结论
综上所述，无论 $\Delta$ 符号如何，$\lambda$ 的实部均为负数，即 $\operatorname{Re}(\lambda)<0$。
提示：注意两种情况覆盖所有可能。
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