广西民族大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
七、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 分别为数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 与 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，又设
$$
W=\left\{B \alpha \mid A B \alpha=0, \alpha \in P^{s \times 1}\right\} \subset P^{n \times 1}
$$
证明：
$$
\operatorname{dim}(W)=\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义线性映射并理解W的结构
定义线性映射 $\varphi: P^{s\times 1} \to P^{n\times 1}$，$\varphi(\alpha)=B\alpha$。则 $W=\{B\alpha \mid AB\alpha=0\} = \varphi(\ker(AB))$，即 $W$ 是 $\varphi$ 限制在 $\ker(AB)$ 上的像。
公式：$W = \varphi(\ker(AB))$
提示：注意 $W$ 是 $B$ 的列空间的一个子空间，但并非整个列空间。
步骤 2/6
目标：应用维数公式于限制映射
考虑限制映射 $\varphi|_{\ker(AB)}: \ker(AB) \to P^{n\times 1}$。由维数公式：$\dim(\ker(AB)) = \dim(\ker(\varphi|_{\ker(AB)})) + \dim(\operatorname{Im}(\varphi|_{\ker(AB)}))$。其中 $\operatorname{Im}(\varphi|_{\ker(AB)}) = W$。
公式：$\dim(\ker(AB)) = \dim(\ker(\varphi|_{\ker(AB)})) + \dim(W)$
提示：维数公式适用于线性映射的定义域和像空间。
步骤 3/6
目标：计算限制映射的核
计算 $\ker(\varphi|_{\ker(AB)}) = \ker(AB) \cap \ker(B)$。由于 $\ker(B) \subseteq \ker(AB)$（因为 $B\alpha=0 \Rightarrow AB\alpha=0$），所以 $\ker(AB) \cap \ker(B) = \ker(B)$。因此 $\ker(\varphi|_{\ker(AB)}) = \ker(B)$。
公式：$\ker(\varphi|_{\ker(AB)}) = \ker(B)$
提示：注意包含关系 $\ker(B) \subseteq \ker(AB)$ 是推导的关键。
步骤 4/6
目标：代入维数公式得到关系式
将核的维数代入维数公式：$\dim(\ker(AB)) = \dim(\ker(B)) + \dim(W)$。
公式：$\dim(\ker(AB)) = \dim(\ker(B)) + \dim(W)$
提示：此式建立了 $\ker(AB)$、$\ker(B)$ 和 $W$ 的维数关系。
步骤 5/6
目标：用秩表示核的维数
由维数公式，对于矩阵 $AB$ 和 $B$，有 $\dim(\ker(AB)) = s - \operatorname{rank}(AB)$，$\dim(\ker(B)) = s - \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\dim(\ker(AB)) = s - \operatorname{rank}(AB)$，$\dim(\ker(B)) = s - \operatorname{rank}(B)$
提示：注意 $AB$ 是 $m\times s$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵，定义域维数均为 $s$。
步骤 6/6
目标：代入并解出dim(W)
将上述表达式代入 $\dim(\ker(AB)) = \dim(\ker(B)) + \dim(W)$，得 $s - \operatorname{rank}(AB) = (s - \operatorname{rank}(B)) + \dim(W)$。化简得 $\dim(W) = \operatorname{rank}(B) - \operatorname{rank}(AB)$。
公式：$\dim(W) = \operatorname{rank}(B) - \operatorname{rank}(AB)$
提示：化简时注意 $s$ 抵消。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。