广西民族大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
一、（20分）已知 $n$ 阶方阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\
a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}=1, \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=n$ ．
（1）求 $A$ 的全部特征值；
（2）求 $A$ 的行列式和迹．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵A表示为秩一矩阵和单位矩阵的组合
令 $\alpha = (a_1, a_2, \dots, a_n)^T$，$e = (1,1,\dots,1)^T$，则 $A$ 可表示为 $A = \alpha \alpha^T + ee^T - I$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。验证：$A_{ij} = a_i a_j + 1 - \delta_{ij}$，而 $\alpha\alpha^T$ 的 $(i,j)$ 元为 $a_i a_j$，$ee^T$ 的 $(i,j)$ 元为 $1$，减去 $I$ 得到 $a_i a_j + 1 - \delta_{ij}$，正确。
公式：A = \alpha \alpha^T + ee^T - I
提示：注意 $ee^T$ 是元素全为1的矩阵，减去单位矩阵是为了匹配对角线上的 $a_i^2$ 而非 $a_i^2+1$。
步骤 2/7
目标：分析矩阵B的特征值
令 $B = \alpha \alpha^T + ee^T$，则 $A = B - I$。$B$ 是秩不超过2的矩阵（两个秩1矩阵之和），因此 $B$ 的非零特征值最多有两个。设 $\lambda$ 是 $B$ 的非零特征值，对应的特征向量为 $x$，则 $Bx = \lambda x$，即 $\alpha \alpha^T x + e e^T x = \lambda x$。令 $c_1 = \alpha^T x$，$c_2 = e^T x$，则 $\lambda x = c_1 \alpha + c_2 e$。因此 $x$ 是 $\alpha$ 和 $e$ 的线性组合。
公式：Bx = \lambda x \Rightarrow \lambda x = (\alpha^T x)\alpha + (e^T x)e
提示：注意 $B$ 的秩最多为2，所以非零特征值最多两个，其余为0。
步骤 3/7
目标：设特征向量形式并代入特征方程
设 $x = u \alpha + v e$，代入 $\lambda x = c_1 \alpha + c_2 e$，其中 $c_1 = \alpha^T x = \alpha^T (u \alpha + v e) = u \|\alpha\|^2 + v \alpha^T e$，$c_2 = e^T x = e^T (u \alpha + v e) = u e^T \alpha + v n$。已知 $\|\alpha\|^2 = \sum a_i^2 = n$，$\alpha^T e = \sum a_i = 1$，所以 $c_1 = n u + v$，$c_2 = u + n v$。于是方程化为 $\lambda u \alpha + \lambda v e = (n u + v) \alpha + (u + n v) e$。
公式：c_1 = n u + v, \quad c_2 = u + n v
提示：注意利用已知条件 $\sum a_i = 1$ 和 $\sum a_i^2 = n$。
步骤 4/7
目标：比较系数得到关于u,v的齐次线性方程组
由于 $\alpha$ 和 $e$ 线性无关（除非所有 $a_i$ 相等，但此处 $\sum a_i^2 = n$，$\sum a_i = 1$，若全相等则 $a_i = 1/n$，平方和为 $1/n$，不等于 $n$，除非 $n=1$，但一般 $n>1$，故线性无关），比较系数得：
$$
\begin{cases}
\lambda u = n u + v \\
\lambda v = u + n v
\end{cases}
$$
即
$$
\begin{cases}
(\lambda - n) u - v = 0 \\
-u + (\lambda - n) v = 0
\end{cases}
$$
公式：\begin{cases} (\lambda - n) u - v = 0 \\ -u + (\lambda - n) v = 0 \end{cases}
提示：线性无关性很重要，否则不能直接比较系数。
步骤 5/7
目标：求解特征值
齐次线性方程组有非零解当且仅当系数行列式为0：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda - n & -1 \\
-1 & \lambda - n
\end{vmatrix} = (\lambda - n)^2 - 1 = 0
$$
解得 $\lambda - n = \pm 1$，即 $\lambda = n+1$ 或 $\lambda = n-1$。因此 $B$ 有两个非零特征值 $n+1$ 和 $n-1$，其余特征值为0（$n-2$重）。
公式：(\lambda - n)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = n \pm 1
提示：注意行列式计算不要出错。
步骤 6/7
目标：得到A的特征值
由于 $A = B - I$，所以 $A$ 的特征值为 $B$ 的特征值减去1：$n+1-1 = n$，$n-1-1 = n-2$，以及 $0-1 = -1$（$n-2$重）。因此 $A$ 的全部特征值为：$\lambda_1 = n$，$\lambda_2 = n-2$，$\lambda_3 = \cdots = \lambda_n = -1$（$n-2$重）。
公式：\lambda_A = \lambda_B - 1
提示：注意当 $n=1$ 时需单独讨论，但通常 $n\ge2$。
步骤 7/7
目标：计算行列式和迹
行列式等于所有特征值的乘积：
$$
\det(A) = n \cdot (n-2) \cdot (-1)^{n-2} = n(n-2)(-1)^{n-2}
$$
迹等于所有特征值之和：
$$
\operatorname{tr}(A) = n + (n-2) + (n-2)(-1) = n + n - 2 - n + 2 = n
$$
公式：\det(A) = \prod \lambda_i, \quad \operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i
提示：注意特征值的重数，迹的计算中 $n-2$ 个 $-1$ 之和为 $-(n-2)$。
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