📝 广西民族大学 2014年高等代数真题

一、（20分）已知 $n$ 阶方阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\
a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$

其中 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}=1, \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=n$ ．
（1）求 $A$ 的全部特征值；
（2）求 $A$ 的行列式和迹．

七、（20 分）设 $\displaystyle \tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{n}$ 为实数域上的线性空间 $V$ 上的非零线性变换，则存在向量 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \tau_{i}(\alpha) \neq 0(i=1,2, \ldots, n)$.

三、（15 分）设 $A$ 为正定矩阵，$B$ 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}, P B P^{T}$ 同时为对角矩阵。

二、（15 分）设 $\displaystyle n \in N, f\left(x^{n}\right)$ 为实系数多项式，$\displaystyle \xi$ 为 $n$ 次本原单位根，且 $\displaystyle (x-\xi) \mid f\left(x^{n}\right)$ ，求证： $\displaystyle \left(x^{n}-1\right) \mid f\left(x^{n}\right)$.

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$
（1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根；
（2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵；
（3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 为 $\displaystyle R^{n}$ 中 $t$ 个线性无关的向量，证明：存在含 $n$ 个未知量的齐次线性方程组，使 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是它的基础解系．

六、（20 分）设 $A$ 为 $n$ 级方阵，且满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．求证：$A$ 相似于对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & \\ & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$阶单位矩阵。

四、（20分）设 $\displaystyle \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 为 $\displaystyle \tau$ 的两两不同的特征根，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 分别为属于特征根 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 的特征向量，若 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m} \in W$ ，求证：$\displaystyle \alpha_{i} \in W(i=1,2, \ldots, m)$ ．