广西民族大学 2014年高等代数第0题

设 $V$ 是实数域上的线性空间，$\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_n$ 是 $V$ 上的非零线性变换。需要证明存在向量 $\alpha \in V$ 使得 $\tau_i(\alpha) \neq 0$ 对所有 $i=1,2,\ldots,n$ 成立。采用反证法，假设对任意 $\alpha \in V$，总存在某个 $i$ 使得 $\tau_i(\alpha)=0$，即 $V = \bigcup_{i=1}^n \ker \tau_i$。

由于每个 $\tau_i$ 是非零线性变换，其核 $\ker \tau_i$ 是 $V$ 的真子空间（因为非零线性变换的核不等于整个空间）。因此，$\ker \tau_i$ 是 $V$ 的真子空间。

在实数域（无限域）上的线性空间中，有限个真子空间的并集不能等于整个空间。这是因为若 $V$ 是无限域上的线性空间，则存在向量不在任何给定的有限个真子空间中。因此，假设 $V = \bigcup_{i=1}^n \ker \tau_i$ 矛盾。

也可以直接构造向量 $\alpha$。首先，取 $\alpha_1 \notin \ker \tau_1$。若 $\alpha_1$ 满足所有 $\tau_i(\alpha_1) \neq 0$，则得证。否则，存在某个 $i$ 使得 $\tau_i(\alpha_1)=0$，不妨设 $\tau_2(\alpha_1)=0$。取 $\alpha_2 \notin \ker \tau_2$。考虑 $\alpha = \alpha_1 + t \alpha_2$，其中 $t \in \mathbb{R}$。

计算：$\tau_1(\alpha) = \tau_1(\alpha_1) + t \tau_1(\alpha_2)$，$\tau_2(\alpha) = \tau_2(\alpha_1) + t \tau_2(\alpha_2) = t \tau_2(\alpha_2)$。由于 $\tau_1(\alpha_1) \neq 0$ 且 $\tau_2(\alpha_2) \neq 0$，选择 $t$ 使得 $t \neq 0$ 且 $t \neq -\tau_1(\alpha_1)/\tau_1(\alpha_2)$（若 $\tau_1(\alpha_2) \neq 0$），则 $\tau_1(\alpha) \neq 0$ 且 $\tau_2(\alpha) \neq 0$。若 $\tau_1(\alpha_2)=0$，则 $\tau_1(\alpha)=\tau_1(\alpha_1) \neq 0$，只需 $t \neq 0$ 即可。

重复上述过程：假设已构造出 $\alpha$ 使得前 $k$ 个变换非零，若第 $k+1$ 个变换为零，则取 $\beta \notin \ker \tau_{k+1}$，并考虑 $\alpha + s \beta$，选择适当的 $s$ 使得前 $k$ 个变换仍非零且第 $k+1$ 个变换非零。由于每次调整只需避开有限个 $s$ 值（使得某个变换为零的 $s$ 至多一个），总存在实数 $s$ 满足要求。最终得到 $\alpha$ 使得所有 $\tau_i(\alpha) \neq 0$。

因此，存在向量 $\alpha \in V$ 使得 $\tau_i(\alpha) \neq 0$ 对所有 $i=1,2,\ldots,n$ 成立。