广西民族大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 为 $\displaystyle R^{n}$ 中 $t$ 个线性无关的向量，证明：存在含 $n$ 个未知量的齐次线性方程组，使 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是它的基础解系．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：扩充向量为基
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_t$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中 $t$ 个线性无关的向量，根据基扩充定理，可以添加 $n-t$ 个向量 $\beta_{t+1}, \ldots, \beta_n$，使得 $\alpha_1, \ldots, \alpha_t, \beta_{t+1}, \ldots, \beta_n$ 构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。
提示：注意扩充的向量必须与原有向量线性无关，且整体构成基。
步骤 2/7
目标：构造矩阵B
以这组基为列向量构造 $n \times n$ 矩阵 $B = (\alpha_1, \ldots, \alpha_t, \beta_{t+1}, \ldots, \beta_n)$。由于列向量线性无关，矩阵 $B$ 可逆。
公式：$B = (\alpha_1, \ldots, \alpha_t, \beta_{t+1}, \ldots, \beta_n)$
提示：确保列向量的顺序正确，前t列为已知的线性无关向量。
步骤 3/7
目标：求逆矩阵并取行
计算 $B$ 的逆矩阵 $B^{-1}$。将 $B^{-1}$ 的最后 $n-t$ 行取出，构成一个 $(n-t) \times n$ 矩阵 $A$。即 $A$ 的行向量是 $B^{-1}$ 的最后 $n-t$ 行。
公式：$A = \text{最后 } n-t \text{ 行 of } B^{-1}$
提示：逆矩阵的计算可能较繁琐，但理论上存在。
步骤 4/7
目标：验证Aα_i=0
由于 $B^{-1} B = I$，考虑 $B^{-1}$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的内积。特别地，对于 $j=1,\ldots,t$，$B$ 的第 $j$ 列是 $\alpha_j$。$B^{-1}$ 的最后 $n-t$ 行与 $\alpha_j$ 的内积为0，因为 $B^{-1} B$ 的对应位置是单位矩阵中最后 $n-t$ 行与前 $t$ 列的交点，这些元素都是0。因此 $A \alpha_j = 0$ 对 $j=1,\ldots,t$ 成立。
公式：$B^{-1} B = I \Rightarrow A \alpha_j = 0$
提示：注意矩阵乘法中行与列的内积含义。
步骤 5/7
目标：确定A的秩
由于 $B^{-1}$ 可逆，其行向量线性无关，因此 $A$ 的行向量（即 $B^{-1}$ 的最后 $n-t$ 行）也线性无关，故 $\operatorname{rank}(A) = n-t$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = n-t$
提示：可逆矩阵的子矩阵的行秩等于行数。
步骤 6/7
目标：解空间维数
齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解空间维数为 $n - \operatorname{rank}(A) = n - (n-t) = t$。
公式：$\dim(\ker(A)) = n - \operatorname{rank}(A) = t$
提示：解空间维数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 7/7
目标：验证基础解系
已知 $\alpha_1, \ldots, \alpha_t$ 是 $t$ 个线性无关的解向量，且解空间维数为 $t$，因此它们构成解空间的一组基，即方程组 $A x = 0$ 的基础解系。
提示：基础解系要求向量线性无关且个数等于解空间维数。
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