广西民族大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
四、（20分）设 $\displaystyle \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 为 $\displaystyle \tau$ 的两两不同的特征根，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 分别为属于特征根 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 的特征向量，若 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m} \in W$ ，求证：$\displaystyle \alpha_{i} \in W(i=1,2, \ldots, m)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与待证结论
已知：$\tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\tau$ 的不变子空间（即 $\tau(W) \subseteq W$），$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ 是 $\tau$ 的两两不同的特征值，$\alpha_i$ 是属于 $\lambda_i$ 的特征向量（即 $\tau(\alpha_i) = \lambda_i \alpha_i$），且 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_m \in W$。求证：每个 $\alpha_i \in W$。
提示：注意特征向量非零，且特征值两两不同是后续范德蒙矩阵可逆的关键。
步骤 2/5
目标：利用不变子空间性质生成向量族
由于 $W$ 是 $\tau$ 的不变子空间，对任意正整数 $k$，有 $\tau^k(\alpha) \in W$。计算 $\tau^k(\alpha)$：
$$\tau^k(\alpha) = \tau^k\left(\sum_{i=1}^m \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^m \tau^k(\alpha_i) = \sum_{i=1}^m \lambda_i^k \alpha_i.$$
因此，对于 $k = 0, 1, \ldots, m-1$，向量 $\beta_k = \sum_{i=1}^m \lambda_i^k \alpha_i$ 都属于 $W$。
公式：$$\tau^k(\alpha) = \sum_{i=1}^m \lambda_i^k \alpha_i$$
提示：注意 $\tau^0$ 是恒等变换，$\beta_0 = \alpha$。
步骤 3/5
目标：将向量族写成矩阵形式
将 $\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_{m-1}$ 写成矩阵形式：
$$\begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_{m-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_m \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^{m-1} & \lambda_2^{m-1} & \cdots & \lambda_m^{m-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix}.$$
记系数矩阵为 $A$，则 $A$ 是范德蒙矩阵。
公式：$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_m \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^{m-1} & \lambda_2^{m-1} & \cdots & \lambda_m^{m-1} \end{pmatrix}$$
提示：注意矩阵的行对应不同的 $k$，列对应不同的特征值。
步骤 4/5
目标：利用范德蒙矩阵可逆性解出特征向量
由于 $\lambda_i$ 两两不同，范德蒙矩阵 $A$ 的行列式非零，故 $A$ 可逆。因此，
$$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_{m-1} \end{pmatrix}.$$
即每个 $\alpha_i$ 可表示为 $\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_{m-1}$ 的线性组合。
公式：$$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_{m-1} \end{pmatrix}$$
提示：范德蒙矩阵可逆的充要条件是特征值互异，这是本题的关键。
步骤 5/5
目标：由子空间封闭性推出结论
因为每个 $\beta_k \in W$，而 $W$ 是子空间，对线性组合封闭，所以 $\alpha_i$ 作为 $\beta_k$ 的线性组合也属于 $W$。因此，$\alpha_i \in W$ 对 $i=1,2,\ldots,m$ 成立。
提示：注意子空间对线性运算封闭，但 $A^{-1}$ 的元素是常数，所以组合仍在 $W$ 中。
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