广西民族大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）设 $A$ 为正定矩阵，$B$ 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}, P B P^{T}$ 同时为对角矩阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用正定性将A化为单位矩阵
由于$A$是正定矩阵，存在可逆矩阵$Q$使得$Q A Q^T = I$。这是因为正定矩阵合同于单位矩阵，可以通过Cholesky分解或配方法得到。
公式：$Q A Q^T = I$
提示：注意$Q$是可逆的，且$Q$不唯一；确保$Q$的构造正确。
步骤 2/7
目标：定义新矩阵C并验证对称性
令$C = Q B Q^T$。由于$B$是实对称矩阵，且$Q$是实可逆矩阵，则$C$也是实对称矩阵，因为$C^T = (Q B Q^T)^T = Q B^T Q^T = Q B Q^T = C$。
公式：$C = Q B Q^T$
提示：注意矩阵乘法的转置性质，确保$C$的对称性。
步骤 3/7
目标：将C正交对角化
由于$C$是实对称矩阵，存在正交矩阵$R$（即$R^T = R^{-1}$）使得$R C R^T = \Lambda$为对角矩阵，其中$\Lambda$的对角线元素是$C$的特征值。
公式：$R C R^T = \Lambda$
提示：正交矩阵$R$满足$R^T R = I$，确保$R$是正交的，否则后续推导不成立。
步骤 4/7
目标：构造可逆矩阵P
令$P = R Q$。由于$R$和$Q$均可逆，$P$也可逆。
公式：$P = R Q$
提示：注意矩阵乘法的顺序，$P$是$R$左乘$Q$。
步骤 5/7
目标：验证P A P^T为对角矩阵
计算$P A P^T = (R Q) A (R Q)^T = R (Q A Q^T) R^T = R I R^T = I$，即单位矩阵，显然是对角矩阵。
公式：$P A P^T = I$
提示：注意转置的性质：$(R Q)^T = Q^T R^T$。
步骤 6/7
目标：验证P B P^T为对角矩阵
计算$P B P^T = (R Q) B (R Q)^T = R (Q B Q^T) R^T = R C R^T = \Lambda$，即对角矩阵。
公式：$P B P^T = \Lambda$
提示：注意$C$的定义和正交对角化结果。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，存在可逆矩阵$P$使得$P A P^T$和$P B P^T$同时为对角矩阵。
提示：该结论是线性代数中同时合同对角化的典型结果。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。