广西民族大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $\displaystyle n \in N, f\left(x^{n}\right)$ 为实系数多项式，$\displaystyle \xi$ 为 $n$ 次本原单位根，且 $\displaystyle (x-\xi) \mid f\left(x^{n}\right)$ ，求证： $\displaystyle \left(x^{n}-1\right) \mid f\left(x^{n}\right)$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
已知 $n \in N$，$f(x^n)$ 是实系数多项式，$\xi$ 是 $n$ 次本原单位根，且 $(x-\xi) \mid f(x^n)$。需要证明 $(x^n-1) \mid f(x^n)$。
提示：注意本原单位根的定义：$\xi^n=1$ 且对任意 $1\leq k
步骤 2/6
目标：设辅助多项式并利用已知整除条件
设 $g(x)=f(x^n)$。由已知 $(x-\xi) \mid g(x)$，得 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi^n)=f(1)=0$。
公式：$g(\xi)=f(\xi^n)=f(1)=0$
提示：注意 $\xi^n=1$，所以 $f(\xi^n)=f(1)$。
步骤 3/6
目标：推导所有单位根处函数值
对任意 $k=0,1,\dots,n-1$，考虑 $\xi^k$，它是 $n$ 次单位根。计算 $g(\xi^k)=f((\xi^k)^n)=f(\xi^{kn})=f((\xi^n)^k)=f(1^k)=f(1)=0$。因此所有 $n$ 次单位根都是 $g(x)$ 的根。
公式：$g(\xi^k)=f(1)=0$
提示：注意 $(\xi^k)^n = \xi^{kn} = (\xi^n)^k = 1^k = 1$。
步骤 4/6
目标：分析多项式 $x^n-1$ 的根
多项式 $h(x)=x^n-1$ 的根恰好是所有 $n$ 次单位根：$\xi^0, \xi^1, \dots, \xi^{n-1}$。且 $h(x)$ 无重根，因为 $h'(x)=nx^{n-1}$ 与 $h(x)$ 互质（$h(x)$ 的根都不是 $h'(x)$ 的根）。
公式：$h(x)=x^n-1$，$h'(x)=nx^{n-1}$
提示：无重根的条件：$\gcd(h(x), h'(x))=1$。
步骤 5/6
目标：应用多项式整除定理
由于 $h(x)$ 的所有根都是 $g(x)$ 的根，且 $h(x)$ 无重根，根据多项式整除理论，$h(x) \mid g(x)$。即 $x^n-1 \mid f(x^n)$。
公式：$h(x) \mid g(x)$
提示：注意：若多项式 $p(x)$ 无重根且所有根都是 $q(x)$ 的根，则 $p(x) \mid q(x)$。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$(x^n-1) \mid f(x^n)$，命题得证。
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