广西民族大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
一、（本题 20 分）解方程
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x+1 & 10 & 10 & 40 \\
1 & x-16 & 0 & 0 \\
0 & 2 & x+3 & 4 \\
0 & 5 & 5 & x+4
\end{array}\right|=0
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：按第一列展开行列式
将行列式 $D(x)$ 按第一列展开，得到两个三阶行列式的差：
$$D(x)=(x+1)\begin{vmatrix} x-16 & 0 & 0 \\ 2 & x+3 & 4 \\ 5 & 5 & x+4 \end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix} 10 & 10 & 40 \\ 2 & x+3 & 4 \\ 5 & 5 & x+4 \end{vmatrix}.$$
公式：行列式按行（列）展开公式
提示：注意展开时符号：第一列元素 $a_{11}=x+1$ 的代数余子式符号为正，$a_{21}=1$ 的代数余子式符号为负（因为 $(-1)^{2+1}=-1$）。
步骤 2/7
目标：计算第一个三阶行列式
第一个三阶行列式是上三角矩阵，直接等于对角线上元素的乘积：
$$\begin{vmatrix} x-16 & 0 & 0 \\ 2 & x+3 & 4 \\ 5 & 5 & x+4 \end{vmatrix} = (x-16)(x+3)(x+4).$$
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素乘积
提示：注意上三角行列式定义：主对角线以下元素全为零，本题中左下角元素2和5不为零，但第一列除 $x-16$ 外其余为零，故仍为上三角。
步骤 3/7
目标：化简第二个三阶行列式
第二个三阶行列式第一行有公因子10，提取出来：
$$\begin{vmatrix} 10 & 10 & 40 \\ 2 & x+3 & 4 \\ 5 & 5 & x+4 \end{vmatrix}=10\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & x+3 & 4 \\ 5 & 5 & x+4 \end{vmatrix}.$$
公式：行列式提取公因子
提示：提取公因子时注意是整行提取，不要遗漏。
步骤 4/7
目标：利用行变换化简行列式
将第一行乘以-2加到第二行，乘以-5加到第三行，得到：
$$10\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & x+1 & -4 \\ 0 & 0 & x-16 \end{vmatrix}=10\cdot1\cdot\begin{vmatrix} x+1 & -4 \\ 0 & x-16 \end{vmatrix}=10(x+1)(x-16).$$
公式：行变换不改变行列式的值；上三角行列式求值
提示：行变换时注意：将第一行的倍数加到另一行，行列式值不变。最终得到上三角行列式，直接计算。
步骤 5/7
目标：合并得到D(x)的表达式
将前两步结果代入 $D(x)$：
$$D(x)=(x+1)(x-16)(x+3)(x+4)-10(x+1)(x-16)=(x+1)(x-16)[(x+3)(x+4)-10].$$
公式：因式分解
提示：注意提取公因式 $(x+1)(x-16)$，不要遗漏。
步骤 6/7
目标：化简括号内表达式并求解
计算 $(x+3)(x+4)-10 = x^2+7x+12-10 = x^2+7x+2$。
所以 $D(x)=(x+1)(x-16)(x^2+7x+2)=0$。
解得 $x=-1$，$x=16$，以及 $x^2+7x+2=0$ 的根 $x=\frac{-7\pm\sqrt{41}}{2}$。
公式：二次方程求根公式
提示：二次方程 $x^2+7x+2=0$ 的判别式 $\Delta=49-8=41$，根为 $\frac{-7\pm\sqrt{41}}{2}$。
步骤 7/7
目标：写出所有解
原方程的解为：
$$x_1=-1,\quad x_2=16,\quad x_3=\frac{-7+\sqrt{41}}{2},\quad x_4=\frac{-7-\sqrt{41}}{2}.$$
提示：注意不要遗漏解，共有四个根。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。