📝 广西民族大学 2015年高等代数真题

一、（本题 20 分）解方程

$$
\left|\begin{array}{cccc}
x+1 & 10 & 10 & 40 \\
1 & x-16 & 0 & 0 \\
0 & 2 & x+3 & 4 \\
0 & 5 & 5 & x+4
\end{array}\right|=0
$$

七、（本题15分）设 $V$ 为闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上全体实函数构成的实向量空间，$\displaystyle f_{1}, \cdots, f_{n} \in V$ ，则 $\displaystyle f_{1}, \cdots, f_{n}$ 线性无关的充要条件是存在 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{n} \in[a, b]$ 使得行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(f_{i}\left(a_{j}\right)\right) \neq 0$ ．

三、（本题20分）已知3维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）求（I）到（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（3）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为： $\displaystyle \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（I）、（II）的矩阵。

二、（本题 20 分）已知矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]
$$

矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。

五、（本题 20 分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换

$$
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K})
$$

其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，线性子空间

$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\}
$$

（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

八、（本题 20 分）设 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，证明：对任何正整数 $m$ ，总存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足方程

$$
X^{2 m+1}+X^{m}+I=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right]
$$

六、（本题15分）设 $\displaystyle k, n \in N^{+}, f(x)=(x+1)^{k+n}+2 x(x+1)^{k+n-1}+\cdots+(2 x)^{k}(x+1)^{n}$ ，证明：$\displaystyle x^{k+1} \mid(x-1) f(x)+(x+1)^{k+n+1}$ ．

四、（本题 20 分）求一个正交变换化下列二次型为标准形：

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}
$$