广西民族大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
五、（本题 20 分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换
$$
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K})
$$
其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，线性子空间
$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定子空间W的结构并求基
子空间W由所有满足$x_{11}+x_{22}=0$的2×2矩阵组成，即$x_{22}=-x_{11}$。因此W中矩阵形式为$\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a\end{pmatrix}$，其中$a,b,c\in\mathbb{K}$。维数为3，一个自然基为：$E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$，$E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$E_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$。
提示：注意迹为零的条件，基的选择不唯一，但需线性无关且张成W。
步骤 2/6
目标：验证W在Ψ下的不变性
任取$X=\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a\end{pmatrix}\in W$，计算$\Psi(X)=B^T X - X^T B$。其中$B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$B^T=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$。先计算$B^T X=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\ a+c & b-a\end{pmatrix}$，再计算$X^T B=\begin{pmatrix}a & c \\ b & -a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & a+c \\ b & b-a\end{pmatrix}$。相减得$\Psi(X)=\begin{pmatrix}0 & b-a-c \\ a+c-b & 0\end{pmatrix}$。该矩阵迹为0，故$\Psi(X)\in W$，即W是Ψ的不变子空间。
公式：$\Psi(X)=B^T X - X^T B$
提示：计算矩阵乘法时注意顺序，B^T与X相乘，X^T与B相乘，最后相减。
步骤 3/6
目标：计算Ψ在基向量E1上的像
取$E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$，对应$a=1,b=0,c=0$。代入$\Psi(X)$公式得$d=b-a-c=0-1-0=-1$，所以$\Psi(E_1)=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$。用基表示：$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot E_1 + (-1)\cdot E_2 + 1\cdot E_3$，即坐标为$(0,-1,1)^T$。
公式：$\Psi(E_1)=-E_2+E_3$
提示：注意像矩阵的迹为零，确保结果在W中。
步骤 4/6
目标：计算Ψ在基向量E2上的像
取$E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，对应$a=0,b=1,c=0$。代入得$d=1-0-0=1$，$\Psi(E_2)=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$。用基表示：$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot E_1 + 1\cdot E_2 + (-1)\cdot E_3$，即坐标为$(0,1,-1)^T$。
公式：$\Psi(E_2)=E_2-E_3$
提示：注意符号，d=1导致第二行第一列为-1。
步骤 5/6
目标：计算Ψ在基向量E3上的像
取$E_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，对应$a=0,b=0,c=1$。代入得$d=0-0-1=-1$，$\Psi(E_3)=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$。用基表示：$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot E_1 + (-1)\cdot E_2 + 1\cdot E_3$，即坐标为$(0,-1,1)^T$。
公式：$\Psi(E_3)=-E_2+E_3$
提示：注意与E1的像相同，但这是巧合。
步骤 6/6
目标：写出Ψ在基下的矩阵
将三个像的坐标作为列向量，得到矩阵：第一列$(0,-1,1)^T$，第二列$(0,1,-1)^T$，第三列$(0,-1,1)^T$。因此矩阵为$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}$。
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标，顺序与基的顺序一致。
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