广西民族大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
三、（本题20分）已知3维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）求（I）到（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（3）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为： $\displaystyle \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（I）、（II）的矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出基(II)用基(I)的表示
基(II)为：$\eta_1 = -\varepsilon_3$, $\eta_2 = -2\varepsilon_2$, $\eta_3 = -3\varepsilon_1$。将每个$\eta_i$用基(I)线性表示，得到系数矩阵。
公式：$\begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \end{pmatrix}$
提示：注意基(II)中向量的顺序，过渡矩阵的列是基(II)在基(I)下的坐标。
步骤 2/6
目标：写出过渡矩阵P
由表示式得：$\eta_1 = 0\cdot\varepsilon_1 + 0\cdot\varepsilon_2 + (-1)\cdot\varepsilon_3$，$\eta_2 = 0\cdot\varepsilon_1 + (-2)\cdot\varepsilon_2 + 0\cdot\varepsilon_3$，$\eta_3 = (-3)\cdot\varepsilon_1 + 0\cdot\varepsilon_2 + 0\cdot\varepsilon_3$。因此过渡矩阵$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：过渡矩阵是从旧基到新基的变换矩阵，注意列对应新基坐标。
步骤 3/6
目标：求P的逆矩阵
由于$P$是置换矩阵乘以对角矩阵，其逆为：$P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1/3 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：求逆时注意对角元素取倒数，且置换矩阵的逆是转置。
步骤 4/6
目标：计算α在基(II)下的坐标
坐标变换公式：$X_{II} = P^{-1} X_I$，其中$X_I = (1,2,3)^T$。计算：$X_{II} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1/3 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
公式：$X_{II} = P^{-1} X_I$
提示：注意坐标变换公式中逆矩阵的位置，不要混淆。
步骤 5/6
目标：求线性变换A在基(I)下的矩阵
由定义：$A(\varepsilon_1)=\varepsilon_1$，$A(\varepsilon_2)=2\varepsilon_2$，$A(\varepsilon_3)=3\varepsilon_3-\varepsilon_1$。所以矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：$A(\varepsilon_j) = \sum_i a_{ij} \varepsilon_i$
提示：矩阵的第j列是$A(\varepsilon_j)$在基(I)下的坐标。
步骤 6/6
目标：计算A在基(II)下的矩阵B
相似变换公式：$B = P^{-1} A P$。先计算$AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ -9 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。再左乘$P^{-1}$：$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1/3 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 0 & -4 & 0 \\ -9 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$B = P^{-1} A P$
提示：注意矩阵乘法顺序，先右乘P再左乘P^{-1}。
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