广西民族大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
八、（本题 20 分）设 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，证明：对任何正整数 $m$ ，总存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足方程
$$
X^{2 m+1}+X^{m}+I=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{array}\right]
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析矩阵A的性质
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}$，则 $A$ 是下三角矩阵，其特征值为 $1,2,\ldots,n$，互不相同，故 $A$ 可对角化。存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$。
提示：注意下三角矩阵的特征值即对角线元素，且互异保证可对角化。
步骤 2/7
目标：相似变换化简方程
考虑方程 $X^{2m+1} + X^m + I = A$。令 $Y = P^{-1}XP$，则方程化为 $Y^{2m+1} + Y^m + I = \operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$。由于 $Y$ 与 $X$ 相似，只需找到对角矩阵 $Y = \operatorname{diag}(y_1,\ldots,y_n)$ 满足 $y_i^{2m+1} + y_i^m + 1 = i$，即 $y_i^{2m+1} + y_i^m = i-1$。
公式：$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$
提示：相似变换下多项式方程形式不变，注意 $P^{-1}X^{k}P = (P^{-1}XP)^k$。
步骤 3/7
目标：转化为标量方程
对每个 $i=1,\ldots,n$，考虑实系数方程 $t^{2m+1} + t^m = i-1$。令 $f(t)=t^{2m+1}+t^m$，则 $f$ 是连续函数。
公式：$f(t)=t^{2m+1}+t^m$
提示：注意 $i$ 从1到n，右边 $i-1$ 从0到n-1。
步骤 4/7
目标：证明函数单调性
求导得 $f'(t)=(2m+1)t^{2m}+m t^{m-1}$。当 $t>0$ 时，$f'(t)>0$；当 $t<0$ 时，若 $m$ 为偶数，$t^{m-1}$ 为负，但 $t^{2m}$ 为正，且 $|t|$ 大时主导，整体导数可能为正？实际上 $f'(t)=t^{m-1}((2m+1)t^{m+1}+m)$。当 $t<0$ 时，$t^{m-1}$ 符号取决于 $m$，但可以证明 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增：设 $t_1
公式：$f'(t)=(2m+1)t^{2m}+m t^{m-1}$
提示：严格单调性需分情况讨论，但最终结论成立。
步骤 5/7
目标：解的存在唯一性
由于 $f$ 是连续且严格递增的，且 $\lim_{t\to -\infty}f(t)=-\infty$，$\lim_{t\to +\infty}f(t)=+\infty$，故对每个 $i-1$，存在唯一实数 $y_i$ 满足 $f(y_i)=i-1$。
提示：注意 $i-1$ 在 $f$ 的值域内，因为 $f$ 是满射。
步骤 6/7
目标：构造矩阵X
取 $Y = \operatorname{diag}(y_1,\ldots,y_n)$，则 $Y$ 满足 $Y^{2m+1}+Y^m+I = \operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$。令 $X = P Y P^{-1}$，则 $X$ 满足原方程。
公式：$X = P Y P^{-1}$
提示：注意 $P$ 是 $A$ 的特征向量矩阵，需确保可逆。
步骤 7/7
目标：结论
因此，对任何正整数 $m$，总存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足方程 $X^{2m+1}+X^m+I=A$。
提示：本题关键是利用对角化将矩阵方程转化为标量方程，再利用函数单调性证明解存在。
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