广西民族大学 2015年高等代数第0题

题目给出：$V$ 是闭区间 $[a,b]$ 上全体实函数构成的实向量空间，$f_1,\ldots,f_n \in V$。要证明 $f_1,\ldots,f_n$ 线性无关的充要条件是存在 $a_1,\ldots,a_n \in [a,b]$ 使得行列式 $\det(f_i(a_j)) \neq 0$。

假设存在 $a_1,\ldots,a_n \in [a,b]$ 使得 $\det(f_i(a_j)) \neq 0$。设 $\sum_{i=1}^n c_i f_i = 0$（零函数）。对每个 $j=1,\ldots,n$，代入 $x=a_j$ 得 $\sum_{i=1}^n c_i f_i(a_j)=0$。这是一个关于 $c_1,\ldots,c_n$ 的齐次线性方程组，系数矩阵为 $(f_i(a_j))_{n\times n}$，其行列式非零，故只有零解 $c_1=\cdots=c_n=0$。因此 $f_1,\ldots,f_n$ 线性无关。

对 $n$ 进行归纳。$n=1$ 时，$f_1$ 线性无关即 $f_1 \neq 0$，故存在 $a_1 \in [a,b]$ 使得 $f_1(a_1) \neq 0$，从而 $\det(f_1(a_1)) = f_1(a_1) \neq 0$，结论成立。

假设结论对 $n-1$ 成立。设 $f_1,\ldots,f_n$ 线性无关，则其子集 $f_1,\ldots,f_{n-1}$ 也线性无关。由归纳假设，存在 $a_1,\ldots,a_{n-1} \in [a,b]$ 使得 $\det_{1\le i,j\le n-1}(f_i(a_j)) \neq 0$。定义函数 $g(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(a_1) & \cdots & f_1(a_{n-1}) & f_1(x) \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ f_n(a_1) & \cdots & f_n(a_{n-1}) & f_n(x) \end{pmatrix}$。

假设 $g(x) \equiv 0$，则对任意 $x$，按最后一列展开得 $\sum_{i=1}^n (-1)^{n+i} f_i(x) \det(M_i) = 0$，其中 $M_i$ 是去掉第 $i$ 行和最后一列的 $(n-1)\times(n-1)$ 子矩阵。由于 $\det_{1\le i,j\le n-1}(f_i(a_j)) \neq 0$，且 $M_n$ 恰好是该矩阵，故 $\det(M_n) \neq 0$。因此系数 $(-1)^{n+i}\det(M_i)$ 不全为零，从而 $f_1,\ldots,f_n$ 线性相关，矛盾。所以 $g(x)$ 不恒为零，存在 $a_n \in [a,b]$ 使得 $g(a_n) \neq 0$，即 $\det(f_i(a_j)) \neq 0$。

由充分性和必要性，命题得证：$f_1,\ldots,f_n$ 线性无关当且仅当存在 $a_1,\ldots,a_n \in [a,b]$ 使得 $\det(f_i(a_j)) \neq 0$。