广西民族大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
二、（本题 20 分）已知矩阵
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]
$$
矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：整理方程
由 $A^*X = A^{-1} + 2X$ 移项得 $A^*X - 2X = A^{-1}$，即 $(A^* - 2I)X = A^{-1}$。
提示：注意移项时符号变化，不要漏掉负号。
步骤 2/8
目标：计算矩阵A的行列式
计算 $\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot(-1)) - 1\cdot((-1)\cdot1 - 1\cdot1) + (-1)\cdot((-1)\cdot(-1) - 1\cdot1) = 1\cdot(1+1) -1\cdot(-1-1) -1\cdot(1-1) = 2 +2 -0 = 4$。
公式：行列式展开公式
提示：计算行列式时注意符号，尤其是代数余子式的符号。
步骤 3/8
目标：利用伴随矩阵性质化简
由于 $\det(A)=4 \neq 0$，$A$ 可逆，且 $A^* = \det(A) A^{-1} = 4A^{-1}$。代入方程得 $4A^{-1}X = A^{-1} + 2X$。
公式：$A^* = \det(A) A^{-1}$
提示：只有可逆矩阵才有此性质，注意前提条件。
步骤 4/8
目标：左乘A消去逆矩阵
方程 $4A^{-1}X = A^{-1} + 2X$ 两边左乘 $A$ 得 $4X = I + 2AX$，移项得 $4X - 2AX = I$，即 $(4I - 2A)X = I$。
提示：左乘A时注意顺序，矩阵乘法不交换。
步骤 5/8
目标：求解X的表达式
由 $(4I - 2A)X = I$ 得 $X = (4I - 2A)^{-1}$。
提示：注意矩阵可逆的条件，此处 $4I-2A$ 可逆。
步骤 6/8
目标：计算矩阵4I-2A
$4I - 2A = 4\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&2&-2\\-2&2&2\\2&-2&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-2&2\\2&2&-2\\-2&2&2\end{pmatrix}$。
提示：矩阵减法对应元素相减，注意符号。
步骤 7/8
目标：求逆矩阵
设 $B = 4I-2A = \begin{pmatrix}2&-2&2\\2&2&-2\\-2&2&2\end{pmatrix}$。先求 $\det(B)=32$。再求伴随矩阵 $B^*$：计算各代数余子式得 $B^* = \begin{pmatrix}8&8&0\\0&8&8\\8&0&8\end{pmatrix}$。因此 $B^{-1} = \frac{1}{32} B^* = \begin{pmatrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}\end{pmatrix}$。
公式：$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} B^*$
提示：计算代数余子式时注意符号，伴随矩阵要转置。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
所以 $X = \begin{pmatrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}\end{pmatrix}$。
提示：检查结果是否满足原方程。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。