广西民族大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
六、（本题15分）设 $\displaystyle k, n \in N^{+}, f(x)=(x+1)^{k+n}+2 x(x+1)^{k+n-1}+\cdots+(2 x)^{k}(x+1)^{n}$ ，证明：$\displaystyle x^{k+1} \mid(x-1) f(x)+(x+1)^{k+n+1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：转化问题为证明根的重数
要证明 $x^{k+1} \mid g(x)$，其中 $g(x) = (x-1)f(x) + (x+1)^{k+n+1}$，等价于证明 $x=0$ 是 $g(x)$ 的 $k+1$ 重根，即 $g(0)=0, g'(0)=0, \dots, g^{(k)}(0)=0$。
提示：注意整除与根的重数的等价关系，$x^{k+1} \mid g(x)$ 当且仅当 $g(x)$ 有 $k+1$ 重根 $x=0$。
步骤 2/7
目标：将f(x)写成求和形式
根据题目，$f(x) = (x+1)^{k+n} + 2x(x+1)^{k+n-1} + \cdots + (2x)^k (x+1)^n$，可写成求和形式：
$$f(x) = \sum_{i=0}^{k} (2x)^i (x+1)^{k+n-i} = (x+1)^n \sum_{i=0}^{k} (2x)^i (x+1)^{k-i}.$$
令 $h(x) = \sum_{i=0}^{k} (2x)^i (x+1)^{k-i}$，则 $f(x) = (x+1)^n h(x)$。
公式：$$f(x) = \sum_{i=0}^{k} (2x)^i (x+1)^{k+n-i}$$
提示：注意求和指标从0到k，且每一项的指数要匹配。
步骤 3/7
目标：化简g(x)的表达式
代入 $g(x) = (x-1)f(x) + (x+1)^{k+n+1}$，得
$$g(x) = (x-1)(x+1)^n h(x) + (x+1)^{k+n+1} = (x+1)^n \left[ (x-1)h(x) + (x+1)^{k+1} \right].$$
记 $p(x) = (x-1)h(x) + (x+1)^{k+1}$，则 $g(x) = (x+1)^n p(x)$。由于 $x+1$ 在 $x=0$ 处非零，故 $x=0$ 是 $g(x)$ 的 $k+1$ 重根当且仅当 $x=0$ 是 $p(x)$ 的 $k+1$ 重根。
公式：$$g(x) = (x+1)^n p(x)$$
提示：注意因式分解时提取公因子 $(x+1)^n$，并利用 $x+1$ 在0处非零简化问题。
步骤 4/7
目标：计算h(x)的封闭形式
利用等比数列求和公式计算 $h(x)$：
$$h(x) = \sum_{i=0}^{k} (2x)^i (x+1)^{k-i} = (x+1)^k \sum_{i=0}^{k} \left( \frac{2x}{x+1} \right)^i = (x+1)^k \cdot \frac{1 - \left( \frac{2x}{x+1} \right)^{k+1}}{1 - \frac{2x}{x+1}}.$$
化简分母：$1 - \frac{2x}{x+1} = \frac{x+1-2x}{x+1} = \frac{1-x}{x+1}$，因此
$$h(x) = (x+1)^k \cdot \frac{1 - \left( \frac{2x}{x+1} \right)^{k+1}}{\frac{1-x}{x+1}} = (x+1)^{k+1} \cdot \frac{1 - \left( \frac{2x}{x+1} \right)^{k+1}}{1-x}.$$
公式：$$h(x) = (x+1)^{k+1} \cdot \frac{1 - \left( \frac{2x}{x+1} \right)^{k+1}}{1-x}$$
提示：注意等比数列求和公式的使用条件，这里 $\frac{2x}{x+1}$ 可能为1，但求和公式在形式推导中仍成立，最终结果可通过多项式恒等验证。
步骤 5/7
目标：计算(x-1)h(x)
由 $h(x)$ 表达式，计算 $(x-1)h(x)$：
$$(x-1)h(x) = -(1-x)h(x) = -(1-x) \cdot (x+1)^{k+1} \cdot \frac{1 - \left( \frac{2x}{x+1} \right)^{k+1}}{1-x} = -(x+1)^{k+1} \left[ 1 - \left( \frac{2x}{x+1} \right)^{k+1} \right] = -(x+1)^{k+1} + (2x)^{k+1}.$$
公式：$$(x-1)h(x) = -(x+1)^{k+1} + (2x)^{k+1}$$
提示：注意 $(1-x)$ 与分母 $(1-x)$ 约分，以及负号的处理。
步骤 6/7
目标：计算p(x)并得到g(x)
代入 $p(x) = (x-1)h(x) + (x+1)^{k+1}$，得
$$p(x) = \left[ -(x+1)^{k+1} + (2x)^{k+1} \right] + (x+1)^{k+1} = (2x)^{k+1} = 2^{k+1} x^{k+1}.$$
因此 $g(x) = (x+1)^n \cdot 2^{k+1} x^{k+1}$。
公式：$$p(x) = 2^{k+1} x^{k+1}$$
提示：注意 $(x+1)^{k+1}$ 项抵消，得到简洁结果。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $g(x) = 2^{k+1} (x+1)^n x^{k+1}$，显然 $x^{k+1} \mid g(x)$，且 $x^{k+1}$ 的系数非零。因此原命题得证。
提示：注意整除的定义：存在多项式 $q(x)$ 使得 $g(x) = x^{k+1} q(x)$，这里 $q(x) = 2^{k+1} (x+1)^n$。
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