广西民族大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）
已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1, g(x)=x^{3}+2 x^{2}+2 x+1$ ，求它们的最大公因式 （ $\displaystyle f(x), g(x)$ ），并求它们的公共根。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：初始化多项式
设 $f(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1$，$g(x)=x^3+2x^2+2x+1$。
提示：确保多项式按降幂排列，缺项补0。
步骤 2/7
目标：第一步辗转相除：$f(x)$ 除以 $g(x)$
计算 $f(x) \div g(x)$：
$$\begin{aligned}
f(x) &= x \cdot g(x) + r_1(x) \\
x^4+x^3+2x^2+x+1 &= x(x^3+2x^2+2x+1) + (-x^3+1)
\end{aligned}$$
所以 $r_1(x) = -x^3+1$。
公式：多项式除法：$f(x) = q(x)g(x) + r(x)$，其中 $\deg r < \deg g$。
提示：注意余式符号，可乘以非零常数简化后续计算。
步骤 3/7
目标：第二步辗转相除：$g(x)$ 除以 $r_1(x)$
取 $r_1(x) = x^3-1$（乘以 $-1$ 不影响最大公因式）。计算 $g(x) \div r_1(x)$：
$$\begin{aligned}
g(x) &= 1 \cdot (x^3-1) + r_2(x) \\
x^3+2x^2+2x+1 &= (x^3-1) + (2x^2+2x+2) \\
&= 1 \cdot (x^3-1) + 2(x^2+x+1)
\end{aligned}$$
所以 $r_2(x) = 2(x^2+x+1)$，取 $r_2(x) = x^2+x+1$。
公式：多项式除法。
提示：余式乘以非零常数不影响最大公因式，可提取公因子简化。
步骤 4/7
目标：第三步辗转相除：$r_1(x)$ 除以 $r_2(x)$
计算 $r_1(x)=x^3-1$ 除以 $r_2(x)=x^2+x+1$：
$$\begin{aligned}
x^3-1 &= (x-1)(x^2+x+1) + 0
\end{aligned}$$
余式为0，所以最大公因式为 $r_2(x)=x^2+x+1$。
公式：因式分解：$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$。
提示：注意因式分解的正确性，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：得出最大公因式
辗转相除法结束，最后一个非零余式即为最大公因式。因此 $(f(x), g(x)) = x^2+x+1$。
公式：辗转相除法：$(f,g) = (g, r_1) = (r_1, r_2) = \cdots$。
提示：最大公因式通常取首项系数为1。
步骤 6/7
目标：求公共根
公共根即最大公因式 $x^2+x+1=0$ 的根。解二次方程：
$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$
公式：二次方程求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
提示：注意判别式小于0，得到共轭复根。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
最大公因式为 $x^2+x+1$，公共根为 $\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$。
提示：公共根有两个，互为共轭复数。
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