📝 广西民族大学 2020年高等代数真题
第0题
一、（15 分）
已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1, g(x)=x^{3}+2 x^{2}+2 x+1$ ，求它们的最大公因式 （ $\displaystyle f(x), g(x)$ ），并求它们的公共根。
已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1, g(x)=x^{3}+2 x^{2}+2 x+1$ ，求它们的最大公因式 （ $\displaystyle f(x), g(x)$ ），并求它们的公共根。
第0题
七、（20分）
设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ ，证明：必存在 $n$ 维向量 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \neq 0$使得 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x<0$ ．
设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ ，证明：必存在 $n$ 维向量 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \neq 0$使得 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x<0$ ．
第0题
三、（15分）
已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}-x_{3}=1 \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+k x_{3}=3 \\ x_{1}+k x_{2}+3 x_{3}=2\end{array}\right.$ 试讨论 $k$ 取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解。当有解时，写出其解表示式。
已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}-x_{3}=1 \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+k x_{3}=3 \\ x_{1}+k x_{2}+3 x_{3}=2\end{array}\right.$ 试讨论 $k$ 取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解。当有解时，写出其解表示式。
第0题
九、（20分）
设 $A$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle A^{2}=I$（单位变换），令
$$
V_{1}=\{x \mid x \in V, A x=x\}, \quad V_{2}=\{x \mid x \in V, A x=-x\},
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
设 $A$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle A^{2}=I$（单位变换），令
$$
V_{1}=\{x \mid x \in V, A x=x\}, \quad V_{2}=\{x \mid x \in V, A x=-x\},
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
第0题
二、（15 分）
设 $\displaystyle a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$ ，计算下列行列式的值，并给出 $\displaystyle D=0$ 的条件
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1+a_{1} & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2+a_{2} & 3 & \cdots & n \\
1 & 2 & 3+a_{3} & \cdots & n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n+a_{n}
\end{array}\right| .
$$
设 $\displaystyle a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$ ，计算下列行列式的值，并给出 $\displaystyle D=0$ 的条件
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1+a_{1} & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2+a_{2} & 3 & \cdots & n \\
1 & 2 & 3+a_{3} & \cdots & n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n+a_{n}
\end{array}\right| .
$$
第0题
五、（15 分）
设 $A$ 是一个 3 阶方阵，且满足下列等式
$$
A\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
求矩阵 $A$ ，并求 $A$ 的全部特征值。
设 $A$ 是一个 3 阶方阵，且满足下列等式
$$
A\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
求矩阵 $A$ ，并求 $A$ 的全部特征值。
第0题
八、（20分）
已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）证明 $\displaystyle \left\{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}, \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2 \sqrt{2}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}}{\sqrt{2}}\right\}$ 分别是 $W$ 和 $\displaystyle W^{\perp}$ 的标准正交基；
（2）求 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ 在 $W$ 中的内射影 $\displaystyle \beta$ ，即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ．
已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）证明 $\displaystyle \left\{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}, \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2 \sqrt{2}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}}{\sqrt{2}}\right\}$ 分别是 $W$ 和 $\displaystyle W^{\perp}$ 的标准正交基；
（2）求 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ 在 $W$ 中的内射影 $\displaystyle \beta$ ，即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ．
第0题
六、（15 分）
设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 3 个互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 分别是 $A$ 属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$的特征向量，证明：$\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ 不是 $A$ 的特征向量．
设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 3 个互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 分别是 $A$ 属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$的特征向量，证明：$\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ 不是 $A$ 的特征向量．
第0题
四、（15分）
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。