广西民族大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）
设 $\displaystyle a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$ ，计算下列行列式的值，并给出 $\displaystyle D=0$ 的条件
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1+a_{1} & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2+a_{2} & 3 & \cdots & n \\
1 & 2 & 3+a_{3} & \cdots & n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n+a_{n}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：拆分行列式
将行列式 $D$ 的每一列拆分为两个列向量的和：第 $i$ 列 = $(i, i, \dots, i)^T + (0, \dots, 0, a_i, 0, \dots, 0)^T$，其中 $a_i$ 在第 $i$ 行。则 $D$ 可表示为所有这样的拆分组合之和，即 $2^n$ 个行列式的和。
提示：注意拆分的正确性：每个元素 $i$（当 $j \neq i$）或 $i+a_i$（当 $j=i$）拆成 $i$ 和 $a_i$ 两部分。
步骤 2/6
目标：识别非零子行列式
在 $2^n$ 个行列式中，若有两列或以上取自第一部分（即全为 $i$ 的列），则这些列成比例，行列式为0。因此只有两种非零情况：所有列都取自第二部分；或者恰好有一列取自第一部分，其余取自第二部分。
提示：注意第一部分列向量 $(1,2,\dots,n)^T$ 与 $(2,4,\dots,2n)^T$ 等成比例，但这里每列第一部分是 $(1,2,\dots,n)^T$ 乘以不同的常数？实际上，第 $j$ 列的第一部分是 $(j, j, \dots, j)^T$，即所有元素都是 $j$，所以不同列的第一部分成比例（比例因子为 $j$），因此任意两列第一部分线性相关。
步骤 3/6
目标：计算所有列取自第二部分的情况
当所有列都取自第二部分时，第 $i$ 列只有第 $i$ 行为 $a_i$，其余为0，得到对角行列式，值为 $\prod_{i=1}^n a_i$。
公式：$\prod_{i=1}^n a_i$
提示：注意对角行列式的计算：对角线元素乘积。
步骤 4/6
目标：计算恰好一列取自第一部分的情况
设第 $k$ 列取自第一部分，即该列为 $(1,2,\dots,n)^T$，其余列 $j \neq k$ 取自第二部分（只有第 $j$ 行为 $a_j$）。按第 $k$ 列展开，只有第 $k$ 行的余子式非零，得到 $k \cdot \prod_{j \neq k} a_j$。对所有 $k=1,\dots,n$ 求和，得 $\sum_{k=1}^n k \prod_{j \neq k} a_j$。
公式：$k \prod_{j \neq k} a_j$
提示：展开时注意代数余子式的符号：$(-1)^{k+k}=1$。另外，当 $i \neq k$ 时，去掉第 $i$ 行后，第 $i$ 列（如果 $i \neq k$）全为零，导致余子式为0。
步骤 5/6
目标：合并结果
将两种情况的贡献相加，得 $D = \prod_{i=1}^n a_i + \sum_{k=1}^n k \prod_{j \neq k} a_j$。提取公因子 $\prod_{i=1}^n a_i$，得 $D = \prod_{i=1}^n a_i \left(1 + \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k}\right)$。
公式：$D = \prod_{i=1}^n a_i \left(1 + \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k}\right)$
提示：注意提取公因子时，$\sum_{k=1}^n k \prod_{j \neq k} a_j = \prod_{i=1}^n a_i \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k}$。
步骤 6/6
目标：给出 $D=0$ 的条件
由于 $a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0$，所以 $D=0$ 当且仅当 $1 + \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k} = 0$。
公式：$1 + \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k} = 0$
提示：注意条件中 $a_k$ 在分母，因此 $a_k \neq 0$ 是前提。
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