广西民族大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
四、（15分）
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解基变换问题
已知3维线性空间$V$有两组基：基(I)为$\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}$，基(II)为$\{-\varepsilon_3, -2\varepsilon_2, -3\varepsilon_1\}$。设基(II)的向量为$\eta_1 = -\varepsilon_3$, $\eta_2 = -2\varepsilon_2$, $\eta_3 = -3\varepsilon_1$。需要求从基(I)到基(II)的过渡矩阵$P$，满足$(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)P$。
公式：(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)P
提示：注意过渡矩阵的定义：新基用旧基线性表示时，系数矩阵是过渡矩阵，且通常按列排列。
步骤 2/7
目标：写出基(II)在基(I)下的线性表示
将每个$\eta_i$用$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$线性表示：
\[
\begin{cases}
\eta_1 = -\varepsilon_3 = 0\cdot\varepsilon_1 + 0\cdot\varepsilon_2 + (-1)\cdot\varepsilon_3, \\
\eta_2 = -2\varepsilon_2 = 0\cdot\varepsilon_1 + (-2)\cdot\varepsilon_2 + 0\cdot\varepsilon_3, \\
\eta_3 = -3\varepsilon_1 = (-3)\cdot\varepsilon_1 + 0\cdot\varepsilon_2 + 0\cdot\varepsilon_3.
\end{cases}
\]
提示：注意系数要按列填入矩阵，即第$j$列是$\eta_j$的系数。
步骤 3/7
目标：构造过渡矩阵P
根据线性表示，系数矩阵为：
\[
P = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -3 \\
0 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
验证：$(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)P$。
公式：P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意第一列对应$\eta_1$的系数，第二列对应$\eta_2$，第三列对应$\eta_3$。
步骤 4/7
目标：理解坐标变换公式
设向量$\alpha$在基(I)下的坐标为$x = (1,2,3)^T$，在基(II)下的坐标为$y$。由基变换公式：$x = P y$，即旧坐标等于过渡矩阵乘以新坐标。因此新坐标$y = P^{-1} x$。
公式：x = P y, \quad y = P^{-1} x
提示：注意公式：若基变换为$(\eta) = (\varepsilon)P$，则坐标变换为$x = P y$，其中$x$是旧基坐标，$y$是新基坐标。
步骤 5/7
目标：求过渡矩阵P的逆矩阵
计算$P^{-1}$。由于$P$是准对角矩阵，可逐块求逆：
\[
P = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -3 \\
0 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\]
其逆矩阵为：
\[
P^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{3} & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
验证：$P P^{-1} = I$。
公式：P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{3} & 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：求逆时注意非零元素的位置，也可通过解方程组或初等变换求得。
步骤 6/7
目标：计算新坐标y
将$x = (1,2,3)^T$代入$y = P^{-1} x$：
\[
y = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{3} & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0\cdot1 + 0\cdot2 + (-1)\cdot3 \\
0\cdot1 + (-\frac{1}{2})\cdot2 + 0\cdot3 \\
(-\frac{1}{3})\cdot1 + 0\cdot2 + 0\cdot3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}.
\]
公式：y = P^{-1} x
提示：矩阵乘法时注意对应元素相乘相加，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，基(I)到基(II)的过渡矩阵为$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$；向量$\alpha$在基(II)下的坐标为$(-3, -1, -\frac{1}{3})^T$。
提示：最终答案要清晰，坐标写成列向量形式。
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