广西民族大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
八、（20分）
已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）证明 $\displaystyle \left\{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}, \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2 \sqrt{2}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}}{\sqrt{2}}\right\}$ 分别是 $W$ 和 $\displaystyle W^{\perp}$ 的标准正交基；
（2）求 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ 在 $W$ 中的内射影 $\displaystyle \beta$ ，即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算α1和α2的内积与模长
计算内积：$\langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle = \langle \varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_3, \varepsilon_1-\varepsilon_2-\varepsilon_3 \rangle = 1 - 1 + 1 = 1$。模长：$\|\alpha_1\|^2 = \langle \alpha_1, \alpha_1 \rangle = 1+1+1=3$，同理$\|\alpha_2\|^2=3$。
公式：内积定义：$\langle \sum a_i \varepsilon_i, \sum b_i \varepsilon_i \rangle = \sum a_i b_i$
提示：注意标准正交基下内积为对应系数乘积之和。
步骤 2/6
目标：构造W的标准正交基候选向量
令$\beta_1 = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}$，$\beta_2 = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2\sqrt{2}}$。计算：$\alpha_1 - \alpha_2 = 2\varepsilon_2$，故$\beta_1 = \varepsilon_2$；$\alpha_1 + \alpha_2 = 2\varepsilon_1 - 2\varepsilon_3$，故$\beta_2 = \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_3}{\sqrt{2}}$。
提示：注意分母的系数，确保向量模长为1。
步骤 3/6
目标：验证β1, β2是标准正交基
计算内积：$\langle \beta_1, \beta_2 \rangle = \langle \varepsilon_2, \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_3}{\sqrt{2}} \rangle = 0$；模长：$\|\beta_1\|=1$，$\|\beta_2\| = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1$。由于它们由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示且线性无关，故构成$W$的标准正交基。
公式：标准正交基条件：$\langle \beta_i, \beta_j \rangle = \delta_{ij}$
提示：验证线性无关可通过秩或直接观察。
步骤 4/6
目标：求W的正交补W⊥
设$\gamma = x_1\varepsilon_1 + x_2\varepsilon_2 + x_3\varepsilon_3$与$\alpha_1,\alpha_2$正交：$\langle \gamma, \alpha_1 \rangle = x_1+x_2-x_3=0$，$\langle \gamma, \alpha_2 \rangle = x_1-x_2-x_3=0$。两式相减得$2x_2=0$，故$x_2=0$；代入得$x_1=x_3$。所以$\gamma = x_1(\varepsilon_1+\varepsilon_3)$。取单位向量$\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_3}{\sqrt{2}}$，它构成$W^\perp$的标准正交基。
公式：正交补定义：$W^\perp = \{\gamma \in V | \langle \gamma, \alpha \rangle = 0, \forall \alpha \in W\}$
提示：解方程组时注意系数矩阵的秩。
步骤 5/6
目标：计算α在W上的投影系数
设$\alpha = \varepsilon_2 + 2\varepsilon_3$。投影$\beta = \langle \alpha, \beta_1 \rangle \beta_1 + \langle \alpha, \beta_2 \rangle \beta_2$。计算：$\langle \alpha, \beta_1 \rangle = \langle \varepsilon_2+2\varepsilon_3, \varepsilon_2 \rangle = 1$；$\langle \alpha, \beta_2 \rangle = \langle \varepsilon_2+2\varepsilon_3, \frac{\varepsilon_1-\varepsilon_3}{\sqrt{2}} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(0-2) = -\sqrt{2}$。
公式：正交投影公式：$\beta = \sum_{i=1}^k \langle \alpha, \beta_i \rangle \beta_i$
提示：注意内积计算要仔细，特别是符号。
步骤 6/6
目标：得到投影β的表达式
代入：$\beta = 1 \cdot \beta_1 + (-\sqrt{2}) \cdot \beta_2 = \varepsilon_2 - \sqrt{2} \cdot \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_3}{\sqrt{2}} = \varepsilon_2 - (\varepsilon_1 - \varepsilon_3) = -\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3$。
提示：化简时注意根号约去。
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