广西民族大学 2020年高等代数第0题

将方程组写成增广矩阵形式： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & k & 3 \\ 1 & k & 3 & 2 \end{pmatrix} \]

第2行减去2倍第1行，第3行减去第1行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & k+2 & 1 \\ 0 & k-1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

第3行减去(k-1)倍第2行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & k+2 & 1 \\ 0 & 0 & 4-(k-1)(k+2) & 1-(k-1) \end{pmatrix} \] 计算得： \[ 4-(k-1)(k+2)=4-(k^2+k-2)=6-k^2-k=-(k+3)(k-2) \] \[ 1-(k-1)=2-k \]

当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。 令第三行系数为0且常数项不为0： \[ -(k+3)(k-2)=0 \quad \text{且} \quad 2-k \neq 0 \] 解得k=-3。此时矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \] 第三行对应方程0=5，矛盾，无解。

当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数个数时，有唯一解。 令第三行系数不为0： \[ -(k+3)(k-2) \neq 0 \Rightarrow k \neq -3 \text{且} k \neq 2 \] 回代求解： 由第三行： \[ -(k+3)(k-2)x_3 = 2-k \Rightarrow x_3 = \frac{2-k}{-(k+3)(k-2)} = \frac{1}{k+3} \] 由第二行： \[ x_2 + (k+2)x_3 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 - (k+2)\cdot\frac{1}{k+3} = \frac{1}{k+3} \] 由第一行： \[ x_1 + x_2 - x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 1 - \frac{1}{k+3} + \frac{1}{k+3} = 1 \] 唯一解为： \[ \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = \frac{1}{k+3} \\ x_3 = \frac{1}{k+3} \end{cases} \]

当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数个数时，有无穷多解。 令第三行系数和常数项均为0： \[ -(k+3)(k-2)=0 \quad \text{且} \quad 2-k=0 \] 解得k=2。此时矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 取x_3为自由变量，令x_3=t（t为任意常数）。 由第二行： \[ x_2 + 4t = 1 \Rightarrow x_2 = 1 - 4t \] 由第一行： \[ x_1 + (1-4t) - t = 1 \Rightarrow x_1 = 5t \] 通解为： \[ \begin{cases} x_1 = 5t \\ x_2 = 1 - 4t \\ x_3 = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

综上所述： - 当k=-3时，方程组无解； - 当k≠-3且k≠2时，方程组有唯一解： \[ \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = \frac{1}{k+3} \\ x_3 = \frac{1}{k+3} \end{cases} \] - 当k=2时，方程组有无穷多解，通解为： \[ \begin{cases} x_1 = 5t \\ x_2 = 1 - 4t \\ x_3 = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]