广西民族大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
七、（20分）
设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ ，证明：必存在 $n$ 维向量 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \neq 0$使得 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x<0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，存在正交矩阵 $Q$（即 $Q^T Q = I$）使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值（均为实数）。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，且特征值均为实数。
步骤 2/5
目标：由行列式条件推出存在负特征值
已知 $|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i < 0$。由于特征值的乘积为负数，至少有一个特征值小于零。不妨设 $\lambda_1 < 0$。
公式：|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i < 0
提示：注意行列式等于特征值的乘积，且实对称矩阵的特征值都是实数。
步骤 3/5
目标：构造一个使二次型为负的向量
取 $y = (1, 0, \dots, 0)^T \in \mathbb{R}^n$，则 $y \neq 0$。计算 $y^T \Lambda y = \lambda_1 < 0$。
公式：y^T \Lambda y = \lambda_1
提示：注意 $y$ 是单位向量，仅第一个分量为1，其余为0。
步骤 4/5
目标：通过正交变换得到原空间中的向量
令 $x = Q y$。由于 $Q$ 是正交矩阵（可逆），$y \neq 0$ 推出 $x \neq 0$。计算 $x^T A x$：$x^T A x = (Q y)^T A (Q y) = y^T (Q^T A Q) y = y^T \Lambda y = \lambda_1 < 0$。
公式：x^T A x = y^T \Lambda y
提示：注意 $x^T A x$ 是二次型，利用正交变换化简时，$x = Q y$ 代入后要正确使用矩阵乘法。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在非零向量 $x$ 使得 $f(x) = x^T A x < 0$，命题得证。
提示：注意 $x$ 是 $n$ 维实向量，且非零。
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