广西民族大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
九、（20分）
设 $A$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle A^{2}=I$（单位变换），令
$$
V_{1}=\{x \mid x \in V, A x=x\}, \quad V_{2}=\{x \mid x \in V, A x=-x\},
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确要证明的结论
要证明 $V = V_1 \oplus V_2$，即证明 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意直和的定义：和空间且交为零。
步骤 2/7
目标：构造分解表达式
对任意 $x \in V$，令 $x_1 = \frac{1}{2}(x + Ax)$，$x_2 = \frac{1}{2}(x - Ax)$。则 $x = x_1 + x_2$。
公式：$x_1 = \frac{1}{2}(x + Ax)$, $x_2 = \frac{1}{2}(x - Ax)$
提示：注意系数 $\frac{1}{2}$ 是为了保证 $x_1$ 和 $x_2$ 满足条件，且 $x = x_1 + x_2$。
步骤 3/7
目标：验证 $x_1 \in V_1$
计算 $A x_1 = A\left(\frac{1}{2}(x + Ax)\right) = \frac{1}{2}(Ax + A^2 x) = \frac{1}{2}(Ax + x) = x_1$，所以 $x_1 \in V_1$。
公式：$A^2 = I$
提示：注意 $A^2 = I$ 的使用，确保 $A^2 x = x$。
步骤 4/7
目标：验证 $x_2 \in V_2$
计算 $A x_2 = A\left(\frac{1}{2}(x - Ax)\right) = \frac{1}{2}(Ax - A^2 x) = \frac{1}{2}(Ax - x) = -x_2$，所以 $x_2 \in V_2$。
公式：$A^2 = I$
提示：注意符号：$A^2 x = x$ 导致 $Ax - x = -(x - Ax)$。
步骤 5/7
目标：证明 $V = V_1 + V_2$
由以上两步，对任意 $x \in V$，有 $x = x_1 + x_2$ 且 $x_1 \in V_1$，$x_2 \in V_2$，因此 $V \subseteq V_1 + V_2$。显然 $V_1 + V_2 \subseteq V$，故 $V = V_1 + V_2$。
提示：注意包含关系的双向性。
步骤 6/7
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
设 $x \in V_1 \cap V_2$，则 $Ax = x$ 且 $Ax = -x$，于是 $x = -x$，即 $2x = 0$，故 $x = 0$。所以 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意 $V_1$ 和 $V_2$ 的定义：$Ax = x$ 和 $Ax = -x$。
步骤 7/7
目标：得出直和结论
由 $V = V_1 + V_2$ 和 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，根据直和的定义，$V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和的定义：和空间且交为零。
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