广西民族大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）
设 $A$ 是一个 3 阶方阵，且满足下列等式
$$
A\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
求矩阵 $A$ ，并求 $A$ 的全部特征值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设矩阵并写出方程
设 $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，则已知 $AB = C$。
提示：注意矩阵乘法的顺序，$A$ 左乘 $B$ 等于 $C$。
步骤 2/7
目标：计算B的行列式
计算 $\det(B)$：
$$
\det(B) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 + 1 \cdot (-1-1) + 1 \cdot (1-2) = -2 -1 = -3.
$$
公式：行列式按第一行展开公式
提示：注意符号：$(-1)^{1+2}$ 为负号，但前面已有负号，需仔细。
步骤 3/7
目标：求B的伴随矩阵
计算各代数余子式：
$B_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3$，
$B_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$，
$B_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1$，
$B_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$，
$B_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$，
$B_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1$，
$B_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3$，
$B_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1$，
$B_{33} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -1$。
得 $B^* = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$，转置得 $B^* = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：代数余子式定义及伴随矩阵构造
提示：伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，注意顺序。
步骤 4/7
目标：求B的逆矩阵
由 $B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} B^*$ 得：
$$
B^{-1} = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -3 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.
$$
公式：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*$
提示：行列式为负，注意符号不要遗漏。
步骤 5/7
目标：计算矩阵A
由 $AB = C$ 得 $A = C B^{-1}$，计算：
$$
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
$$
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法的计算顺序，C是3×3，B^{-1}是3×3，结果也是3×3。
步骤 6/7
目标：求特征多项式
计算 $\det(\lambda I - A)$：
$$
\begin{vmatrix} \lambda-3 & -1 & -1 \\ -3 & \lambda-1 & -1 \\ -3 & -1 & \lambda-1 \end{vmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$
(\lambda-3) \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 \\ -1 & \lambda-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -3 & \lambda-1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} -3 & \lambda-1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix}.
$$
计算各子式：
$$
\begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 \\ -1 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda,
$$
$$
\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -3 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (-3)(\lambda-1) - (-1)(-3) = -3\lambda+3-3 = -3\lambda,
$$
$$
\begin{vmatrix} -3 & \lambda-1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (\lambda-1)(-3) = 3 + 3\lambda -3 = 3\lambda.
$$
代入得：
$$
(\lambda-3)(\lambda^2-2\lambda) + (-3\lambda) - (3\lambda) = \lambda(\lambda-3)(\lambda-2) - 6\lambda = \lambda[(\lambda-3)(\lambda-2)-6] = \lambda(\lambda^2-5\lambda) = \lambda^2(\lambda-5).
$$
公式：行列式展开，特征多项式定义
提示：展开时注意符号，第二项系数为$(-1)^{1+2}=-1$，但前面已有负号，实际为$+$；第三项系数为$(-1)^{1+3}=1$，但前面有负号，实际为$-$。
步骤 7/7
目标：求特征值
令特征多项式为零：$\lambda^2(\lambda-5)=0$，解得特征值为 $\lambda_1=0$（二重），$\lambda_2=5$。
公式：特征方程
提示：注意二重根不要遗漏。
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