广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）
已知多项式 $\displaystyle f_{1}(x)=2 f(x)+g(x), g_{1}(x)=5 f(x)+3 g(x)$ ，证明：
$$
(f(x), \quad g(x))=\left(f_{1}(x), \quad g_{1}(x)\right) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设最大公因式并利用其线性表示
设 $d(x) = (f(x), g(x))$，则存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$。
公式：$d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$
提示：注意最大公因式的定义：它是首一多项式，且能表示为 $f$ 和 $g$ 的线性组合。
步骤 2/7
目标：写出 $f_1, g_1$ 与 $f, g$ 的矩阵关系
由 $f_1(x) = 2f(x) + g(x)$，$g_1(x) = 5f(x) + 3g(x)$，可得矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix} f_1 \\ g_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}.
$$
公式：$\begin{pmatrix} f_1 \\ g_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法的顺序，系数矩阵的行对应 $f_1, g_1$ 的系数。
步骤 3/7
目标：求系数矩阵的逆矩阵
系数矩阵的行列式为 $2\cdot 3 - 1\cdot 5 = 1 \neq 0$，故可逆。逆矩阵为 $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$
提示：二阶矩阵求逆公式：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。
步骤 4/7
目标：用 $f_1, g_1$ 表示 $f, g$
由逆矩阵得：
$$
\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \\ g_1 \end{pmatrix},
$$
即 $f(x) = 3f_1(x) - g_1(x)$，$g(x) = -5f_1(x) + 2g_1(x)$。
公式：$f = 3f_1 - g_1$, $g = -5f_1 + 2g_1$
提示：注意符号，不要写错。
步骤 5/7
目标：证明 $d(x)$ 是 $f_1, g_1$ 的公因式
将 $f, g$ 的表达式代入 $d(x) = uf + vg$ 得：
$$
d = u(3f_1 - g_1) + v(-5f_1 + 2g_1) = (3u - 5v)f_1 + (-u + 2v)g_1.
$$
因此 $d(x)$ 可表示为 $f_1, g_1$ 的线性组合，故 $d(x) \mid (f_1, g_1)$。
公式：$d = (3u-5v)f_1 + (-u+2v)g_1$
提示：注意：公因式必须整除两者，这里通过线性组合说明 $d$ 是 $f_1, g_1$ 的公因式，但还需说明 $d$ 整除它们的最大公因式。
步骤 6/7
目标：证明 $d_1(x)$ 是 $f, g$ 的公因式
设 $d_1(x) = (f_1, g_1)$，则 $d_1 \mid f_1$ 且 $d_1 \mid g_1$。由 $f = 3f_1 - g_1$，$g = -5f_1 + 2g_1$ 知 $d_1 \mid f$ 且 $d_1 \mid g$，故 $d_1 \mid d$。
提示：注意：整除关系具有传递性，若 $d_1$ 整除 $f_1$ 和 $g_1$，则整除它们的线性组合。
步骤 7/7
目标：由互整除性得相等
由 $d \mid d_1$ 且 $d_1 \mid d$，且 $d, d_1$ 均为首一多项式，故 $d = d_1$，即 $(f, g) = (f_1, g_1)$。
提示：注意：最大公因式通常取首一多项式，因此互整除且首一即相等。
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