📝 广西民族大学 2021年高等代数真题
第0题
一、（15 分）
已知多项式 $\displaystyle f_{1}(x)=2 f(x)+g(x), g_{1}(x)=5 f(x)+3 g(x)$ ，证明：
$$
(f(x), \quad g(x))=\left(f_{1}(x), \quad g_{1}(x)\right) .
$$
已知多项式 $\displaystyle f_{1}(x)=2 f(x)+g(x), g_{1}(x)=5 f(x)+3 g(x)$ ，证明：
$$
(f(x), \quad g(x))=\left(f_{1}(x), \quad g_{1}(x)\right) .
$$
第0题
七、（20分）
设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，记
$$
W=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}
$$
（1）证明 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)=W$ ；
（2）证明 $\displaystyle V=W \oplus \sigma(V)$ ．
设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，记
$$
W=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}
$$
（1）证明 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)=W$ ；
（2）证明 $\displaystyle V=W \oplus \sigma(V)$ ．
第0题
三、（15 分）
已知实数域上的 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$, 满足 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，
证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．
已知实数域上的 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$, 满足 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，
证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．
第0题
九、（20分）
设 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个互异实数，证明：存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足矩阵方程：
$$
X^{2021}+2 X^{2020}+5 I=\left[\begin{array}{cccc}
a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{1} & a_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}
\end{array}\right]
$$
设 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个互异实数，证明：存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足矩阵方程：
$$
X^{2021}+2 X^{2020}+5 I=\left[\begin{array}{cccc}
a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{1} & a_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}
\end{array}\right]
$$
第0题
二、（15 分）
计算 $n$ 级行列式：$\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -(n-2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & -(n-1)\end{array}\right|$.
计算 $n$ 级行列式：$\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -(n-2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & -(n-1)\end{array}\right|$.
第0题
五、（15 分）
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{3}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (2,2,5)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{3}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (2,2,5)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。
第0题
八、（20分）
设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \neq 0$ 是 $V$ 中一个固定向量。
（1）证明 $\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0, x \in V\}$ 是 $V$ 的子空间；
（2）证明 $\displaystyle V_{1}$ 的维数等于 $\displaystyle n-1$ ．
设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \neq 0$ 是 $V$ 中一个固定向量。
（1）证明 $\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0, x \in V\}$ 是 $V$ 的子空间；
（2）证明 $\displaystyle V_{1}$ 的维数等于 $\displaystyle n-1$ ．
第0题
六、（15 分）
已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+3 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+3 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
第0题
四、（15分）
设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}$ ，证明 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的秩等于下列矩阵 $A$ 的秩
$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
\end{array}\right] .
$$
设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}$ ，证明 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的秩等于下列矩阵 $A$ 的秩
$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
\end{array}\right] .
$$