广西民族大学 2021年高等代数第0题

注意到从第2行开始，每行只有两个非零元素。为了简化，将第2列加到第1列，第3列加到第2列，...，第n列加到第n-1列。这样，第1列变为 $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$，第2列变为 $2+3+\cdots+n$，依此类推。变换后行列式值不变。

将第1列减去第2列，第2列减去第3列，...，第n-1列减去第n列。这样，第1列变为 $\frac{n(n+1)}{2} - (2+3+\cdots+n) = 1$，但更关键的是，第1列减去第2列后，第1列变为 $\frac{n(n+1)}{2} - (2+3+\cdots+n) = 1$，而第2列变为 $0$，等等。实际上，经过这些操作后，第1列除了第一个元素外全为0，且第1列第一个元素变为 $\frac{n(n+1)}{2}$（因为后续减法抵消了其他项）。更准确地说，执行操作后，第1列变为 $\left(\frac{n(n+1)}{2}, 0, \ldots, 0\right)^T$，第2列变为 $(0, -1, 0, \ldots, 0)^T$，...，第n-1列变为 $(0, \ldots, 0, -(n-2), 0)^T$，第n列不变仍为 $(n, 0, \ldots, 0, -(n-1))^T$。但注意，第n列没有参与减法，所以第n列保持为 $(n, 0, \ldots, 0, -(n-1))^T$。

经过上述变换后，行列式变为： \[ D = \left|\begin{array}{cccccc} \frac{n(n+1)}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & n \\ 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -(n-2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -(n-1) \end{array}\right| \] 这是一个上三角行列式（注意第n列有非零元素在右上角，但其余元素都在对角线下方为零）。实际上，该行列式是上三角的，因为所有非零元素都在对角线及右上角。

上三角行列式的值等于对角线元素的乘积。对角线元素为：$\frac{n(n+1)}{2}, -1, -2, \ldots, -(n-1)$。注意第n行第n列是 $-(n-1)$。因此， \[ D = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (-1) \cdot (-2) \cdots (-(n-1)) \] 乘积中共有 $n-1$ 个负号，所以 $(-1)^{n-1}$ 因子。另外，$1 \cdot 2 \cdots (n-1) = (n-1)!$。因此， \[ D = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (-1)^{n-1} (n-1)! \]

因此，行列式的值为： \[ \boxed{D = (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2} (n-1)!} \]