广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）
已知实数域上的 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$, 满足 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，
证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解条件与目标
题目给出实数域上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足严格对角占优条件：对每个 $i=1,2,\dots,n$，有 $|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$。需要证明 $|A| \neq 0$，即矩阵 $A$ 可逆。
提示：注意条件是严格大于，不是大于等于。
步骤 2/8
目标：反证法假设
假设 $|A|=0$，则 $A$ 不可逆，齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解。设 $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$ 是一个非零解向量。
提示：反证法是常用技巧，假设结论不成立推出矛盾。
步骤 3/8
目标：选取绝对值最大的分量
令 $|x_k| = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$，由于 $x$ 非零，$|x_k| > 0$。
提示：确保 $k$ 是使得 $|x_k|$ 最大的下标，且 $|x_k|>0$。
步骤 4/8
目标：写出第 $k$ 个方程
由 $Ax=0$，第 $k$ 个分量为 $\sum_{j=1}^n a_{kj}x_j = 0$，即 $a_{kk}x_k = -\sum_{j \neq k} a_{kj}x_j$。
公式：$a_{kk}x_k = -\sum_{j \neq k} a_{kj}x_j$
提示：注意移项时符号。
步骤 5/8
目标：取绝对值并放缩
两边取绝对值，利用三角不等式得 $|a_{kk}||x_k| = \left| \sum_{j \neq k} a_{kj}x_j \right| \leq \sum_{j \neq k} |a_{kj}||x_j|$。
公式：$|a_{kk}||x_k| \leq \sum_{j \neq k} |a_{kj}||x_j|$
提示：注意绝对值不等式方向。
步骤 6/8
目标：利用最大值性质放缩
由于 $|x_j| \leq |x_k|$ 对所有 $j$ 成立，所以 $\sum_{j \neq k} |a_{kj}||x_j| \leq |x_k| \sum_{j \neq k} |a_{kj}|$。
公式：$\sum_{j \neq k} |a_{kj}||x_j| \leq |x_k| \sum_{j \neq k} |a_{kj}|$
提示：注意 $|x_k|>0$，可以约去。
步骤 7/8
目标：推导矛盾
结合前两步得 $|a_{kk}||x_k| \leq |x_k| \sum_{j \neq k} |a_{kj}|$，由于 $|x_k|>0$，两边除以 $|x_k|$ 得 $|a_{kk}| \leq \sum_{j \neq k} |a_{kj}|$，这与已知的严格对角占优条件 $|a_{kk}| > \sum_{j \neq k} |a_{kj}|$ 矛盾。
公式：$|a_{kk}| \leq \sum_{j \neq k} |a_{kj}|$
提示：矛盾点在于严格不等式被违反。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此假设不成立，故 $|A| \neq 0$，即矩阵 $A$ 的行列式非零，$A$ 可逆。
提示：结论是行列式非零，等价于矩阵可逆。
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