广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）
已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+3 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简方程
由 $A^{*}X = A^{-1} + 3X$ 移项得 $A^{*}X - 3X = A^{-1}$，即 $(A^{*} - 3E)X = A^{-1}$。若 $A^{*} - 3E$ 可逆，则 $X = (A^{*} - 3E)^{-1}A^{-1}$。
公式：$(A^{*} - 3E)X = A^{-1}$
提示：注意移项时符号变化，不要忘记单位矩阵 $E$。
步骤 2/7
目标：计算行列式 $|A|$
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ 是下三角矩阵，其行列式等于对角线上元素的乘积：$|A| = 1 \times 1 \times 4 = 4$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^n a_{ii}$（三角矩阵）
提示：三角矩阵的行列式直接等于对角线乘积，无需展开。
步骤 3/7
目标：利用伴随矩阵性质简化
由伴随矩阵性质 $A^{*} = |A|A^{-1}$，代入 $|A|=4$ 得 $A^{*} = 4A^{-1}$。于是 $A^{*} - 3E = 4A^{-1} - 3E$。因此 $X = (4A^{-1} - 3E)^{-1}A^{-1}$。
公式：$A^{*} = |A|A^{-1}$
提示：注意 $A^{*}$ 与 $A^{-1}$ 的关系，不要混淆。
步骤 4/7
目标：求 $A^{-1}$
对 $A$ 求逆：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$。由于 $A$ 是下三角矩阵，可逐列求解。设 $A^{-1} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \\ d & e & f \end{pmatrix}$，由 $AA^{-1}=E$ 得：
第一列：$a=1$，$-a+b=0 \Rightarrow b=1$，$0 \cdot a - b + 4d = 0 \Rightarrow d = \frac{1}{4}$。
第二列：$c=1$，$-0 + c = 1$，$0 \cdot 0 - c + 4e = 0 \Rightarrow e = \frac{1}{4}$。
第三列：$f = \frac{1}{4}$。
所以 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$。
公式：$AA^{-1}=E$
提示：利用三角矩阵的特殊结构简化求逆，注意逐列求解。
步骤 5/7
目标：计算 $4A^{-1} - 3E$
计算 $4A^{-1} = 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，减去 $3E = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 得 $B = 4A^{-1} - 3E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵数乘和减法
提示：注意矩阵减法是对应元素相减。
步骤 6/7
目标：求 $B^{-1}$
求 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ 的逆。先求行列式 $|B| = 1 \times 1 \times (-2) = -2$。再求伴随矩阵 $B^{*}$：计算各代数余子式，转置得 $B^{*} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 8 & -2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。于是 $B^{-1} = \frac{B^{*}}{|B|} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 8 & -2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$。
公式：$B^{-1} = \frac{B^{*}}{|B|}$
提示：计算伴随矩阵时注意代数余子式的符号和转置。
步骤 7/7
目标：计算 $X = B^{-1}A^{-1}$
计算 $X = B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$。
第一行：$(1,0,0)$。
第二行：$(-4 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}, \; -4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}, \; -4 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}) = (-4+1+\frac{1}{8}, \; 1+\frac{1}{8}, \; \frac{1}{8}) = (-\frac{23}{8}, \frac{9}{8}, \frac{1}{8})$。
第三行：$(-\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}, \; -\frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}, \; -\frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}) = (-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}, \; \frac{1}{2}-\frac{1}{8}, \; -\frac{1}{8}) = (-\frac{9}{8}, \frac{3}{8}, -\frac{1}{8})$。
所以 $X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{23}{8} & \frac{9}{8} & \frac{1}{8} \\ -\frac{9}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：矩阵乘法时注意行乘列，分数运算要小心。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。