广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
九、（20分）
设 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个互异实数，证明：存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足矩阵方程：
$$
X^{2021}+2 X^{2020}+5 I=\left[\begin{array}{cccc}
a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{1} & a_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}
\end{array}\right]
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题并设矩阵A
设 $A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}$。我们需要证明存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足 $X^{2021}+2X^{2020}+5I = A$。
提示：注意矩阵 $A$ 是下三角矩阵，且对角元互异。
步骤 2/7
目标：分析矩阵A的特征值
由于 $A$ 是下三角矩阵，其特征值即对角元 $a_1, a_2, \ldots, a_n$。因为 $a_i$ 互异，所以 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值，从而 $A$ 可对角化。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A) = \prod_{i=1}^n (\lambda - a_i)$
提示：下三角矩阵的特征值就是对角元。
步骤 3/7
目标：引入多项式函数
考虑多项式 $f(t) = t^{2021} + 2t^{2020} + 5$。则原方程化为 $f(X) = A$。我们需要找到 $X$ 使得 $f(X) = A$。
公式：$f(t) = t^{2021} + 2t^{2020} + 5$
提示：注意 $f(X)$ 是矩阵多项式，代入时需小心运算顺序。
步骤 4/7
目标：对角化简化问题
因为 $A$ 可对角化，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)$。令 $Y = P^{-1}XP$，则 $f(Y) = P^{-1}f(X)P = P^{-1}AP = \operatorname{diag}(a_1, \ldots, a_n)$。
公式：$f(Y) = \operatorname{diag}(a_1, \ldots, a_n)$
提示：矩阵多项式满足 $P^{-1}f(X)P = f(P^{-1}XP)$。
步骤 5/7
目标：确定Y的形式
由于 $f(Y)$ 是对角矩阵，且 $f$ 是多项式，可以证明 $Y$ 必须是对角矩阵。设 $Y = \operatorname{diag}(y_1, y_2, \ldots, y_n)$，则 $f(Y) = \operatorname{diag}(f(y_1), f(y_2), \ldots, f(y_n))$。因此 $f(y_i) = a_i$ 对每个 $i$ 成立。
公式：$f(y_i) = a_i$
提示：注意 $Y$ 不一定唯一，但必须是对角矩阵。
步骤 6/7
目标：求解实根的存在性
方程 $f(t) = a_i$ 即 $t^{2021} + 2t^{2020} + 5 - a_i = 0$。这是一个实系数奇次方程（最高次项次数为奇数），因此至少有一个实根。取 $y_i$ 为任意一个实根即可。
公式：$t^{2021} + 2t^{2020} + 5 = a_i$
提示：奇次实系数多项式必有实根，这是代数基本定理的推论。
步骤 7/7
目标：构造X并完成证明
取 $Y = \operatorname{diag}(y_1, y_2, \ldots, y_n)$，其中 $y_i$ 是 $f(t)=a_i$ 的实根。则 $f(Y) = \operatorname{diag}(a_1, \ldots, a_n) = P^{-1}AP$。令 $X = PYP^{-1}$，则 $f(X) = Pf(Y)P^{-1} = A$。因此存在这样的 $X$。
公式：$X = PYP^{-1}$
提示：注意 $P$ 是使 $A$ 对角化的可逆矩阵，具体形式取决于 $A$ 的特征向量。
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