广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{3}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (2,2,5)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出基(II)向量用基(I)的线性表示
设基(II)为 $\eta_1 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$, $\eta_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3$, $\eta_3 = \varepsilon_1 + 2\varepsilon_3$。将每个 $\eta_i$ 用基(I) $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 线性表示，得到系数向量：
$\eta_1 = 1\cdot\varepsilon_1 + 1\cdot\varepsilon_2 + 0\cdot\varepsilon_3$,
$\eta_2 = 0\cdot\varepsilon_1 + 1\cdot\varepsilon_2 + (-1)\cdot\varepsilon_3$,
$\eta_3 = 1\cdot\varepsilon_1 + 0\cdot\varepsilon_2 + 2\cdot\varepsilon_3$。
提示：注意每个基向量表示时，系数按基(I)的顺序排列，不要混淆顺序。
步骤 2/7
目标：构造过渡矩阵
过渡矩阵 $P$ 的第 $j$ 列是 $\eta_j$ 在基(I)下的坐标。因此
$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$$
公式：过渡矩阵定义：若基(II) = 基(I) * P，则P的第j列为η_j在基(I)下的坐标。
提示：过渡矩阵是基(I)到基(II)的矩阵，注意列对应新基向量。
步骤 3/7
目标：建立坐标变换关系
设 $\alpha$ 在基(II)下的坐标为 $x = (x_1, x_2, x_3)^T$，则 $\alpha = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) x = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) P x$。已知 $\alpha$ 在基(I)下的坐标为 $(2,2,5)^T$，即 $(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) (2,2,5)^T = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) P x$。
公式：坐标变换公式：旧坐标 = P * 新坐标。
提示：注意基(I)到基(II)的过渡矩阵P，旧坐标（基I）等于P乘以新坐标（基II）。
步骤 4/7
目标：列出线性方程组
由基(I)的线性无关性，得到 $P x = (2,2,5)^T$，即
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}.$$
提示：确保矩阵乘法顺序正确：P乘以新坐标等于旧坐标。
步骤 5/7
目标：解线性方程组
写出方程组：
(1) $x_1 + x_3 = 2$,
(2) $x_1 + x_2 = 2$,
(3) $-x_2 + 2x_3 = 5$.
由(1)得 $x_3 = 2 - x_1$；由(2)得 $x_2 = 2 - x_1$；代入(3)：$-(2 - x_1) + 2(2 - x_1) = 5$，即 $-2 + x_1 + 4 - 2x_1 = 5$，化简得 $2 - x_1 = 5$，解得 $x_1 = -3$。然后 $x_2 = 2 - (-3) = 5$，$x_3 = 2 - (-3) = 5$。
提示：解方程时注意符号，代入后仔细计算。
步骤 6/7
目标：验证解的正确性
将 $x_1=-3, x_2=5, x_3=5$ 代入原方程组验证：
(1) $-3+5=2$ 正确；
(2) $-3+5=2$ 正确；
(3) $-5+2\times5=5$ 正确。
提示：验证是避免计算错误的重要步骤。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
（1）过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$；
（2）$\alpha$ 在基(II)下的坐标为 $(-3,5,5)^T$。
提示：注意坐标是列向量，用转置符号表示。
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