广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
八、（20分）
设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \neq 0$ 是 $V$ 中一个固定向量。
（1）证明 $\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0, x \in V\}$ 是 $V$ 的子空间；
（2）证明 $\displaystyle V_{1}$ 的维数等于 $\displaystyle n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证零向量属于V1
由于内积的双线性性，$(0, \alpha) = 0$，因此零向量满足条件，故 $0 \in V_1$。
公式：$(0, \alpha)=0$
提示：注意零向量与任何向量的内积为0。
步骤 2/7
目标：验证加法封闭性
任取 $x, y \in V_1$，则 $(x, \alpha)=0$ 且 $(y, \alpha)=0$。由内积的线性性，$(x+y, \alpha) = (x, \alpha) + (y, \alpha) = 0+0=0$，故 $x+y \in V_1$。
公式：$(x+y, \alpha) = (x, \alpha) + (y, \alpha)$
提示：内积对第一个变元是线性的。
步骤 3/7
目标：验证数乘封闭性
任取 $x \in V_1$ 和 $k \in \mathbb{R}$，则 $(kx, \alpha) = k(x, \alpha) = k \cdot 0 = 0$，故 $kx \in V_1$。
公式：$(kx, \alpha) = k(x, \alpha)$
提示：内积对第一个变元是齐次的。
步骤 4/7
目标：总结子空间证明
由以上三点，$V_1$ 是 $V$ 的子空间。
提示：子空间判定需验证三个条件：零向量、加法封闭、数乘封闭。
步骤 5/7
目标：构造线性映射
定义映射 $f: V \to \mathbb{R}$，$f(x) = (x, \alpha)$。由于内积的线性性，$f$ 是线性映射。又 $\alpha \neq 0$，$f(\alpha) = (\alpha, \alpha) > 0$，故 $f$ 非零。
公式：$f(x) = (x, \alpha)$
提示：注意 $f$ 是线性函数，其像空间是 $\mathbb{R}$ 的子空间。
步骤 6/7
目标：确定核与像
显然 $V_1 = \ker f$。由于 $f$ 非零，其像 $\operatorname{Im} f$ 是 $\mathbb{R}$ 的非零子空间，故 $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}$，从而 $\dim \operatorname{Im} f = 1$。
公式：$V_1 = \ker f$，$\operatorname{Im} f = \mathbb{R}$
提示：非零线性函数的值域是整个 $\mathbb{R}$。
步骤 7/7
目标：应用维数定理
由维数定理：$\dim V = \dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f$，即 $n = \dim V_1 + 1$，所以 $\dim V_1 = n-1$。
公式：$\dim V = \dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f$
提示：维数定理适用于线性映射，注意 $V$ 是有限维。
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