广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
四、（15分）
设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}$ ，证明 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的秩等于下列矩阵 $A$ 的秩
$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
\end{array}\right] .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将二次型表示为矩阵形式
设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，并记 $A$ 为 $s \times n$ 矩阵，其第 $i$ 行为 $\mathbf{a}_i = (a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in})$。则 $f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^s (\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{x})^2 = \sum_{i=1}^s (\mathbf{a}_i \mathbf{x})^2$。
公式：$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^s (\mathbf{a}_i \mathbf{x})^2$
提示：注意 $\mathbf{a}_i$ 是行向量，$\mathbf{x}$ 是列向量，内积为 $\mathbf{a}_i \mathbf{x}$。
步骤 2/6
目标：将平方和转化为范数平方
将 $\sum_{i=1}^s (\mathbf{a}_i \mathbf{x})^2$ 视为向量 $A\mathbf{x}$ 的范数平方，即 $f(\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x}\|^2$，其中 $A\mathbf{x}$ 是 $s$ 维列向量，其第 $i$ 分量为 $\mathbf{a}_i \mathbf{x}$。
公式：$f(\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x}\|^2$
提示：注意 $A\mathbf{x}$ 是列向量，范数平方即各分量平方和。
步骤 3/6
目标：将范数平方表示为二次型
利用内积性质：$\|A\mathbf{x}\|^2 = (A\mathbf{x})^T (A\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A^T A \mathbf{x}$。因此，$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x}$。
公式：$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x}$
提示：注意转置运算：$(A\mathbf{x})^T = \mathbf{x}^T A^T$。
步骤 4/6
目标：确定二次型的矩阵
二次型 $f(\mathbf{x})$ 的矩阵是 $B = A^T A$，这是一个 $n \times n$ 对称矩阵。二次型 $f$ 的秩定义为矩阵 $B$ 的秩。
公式：$B = A^T A$
提示：实二次型的矩阵必须是对称的，$A^T A$ 自然对称。
步骤 5/6
目标：利用秩的性质
对于实矩阵 $A$，有 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$。这是因为 $A^T A$ 与 $A$ 有相同的零空间：$A^T A \mathbf{x} = 0 \iff A\mathbf{x} = 0$（实矩阵情形）。
公式：$\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$
提示：该性质依赖于实数域，若在复数域则需考虑共轭转置。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，二次型 $f$ 的秩等于 $\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$，即等于矩阵 $A$ 的秩。
提示：注意 $A$ 是 $s \times n$ 矩阵，秩不超过 $\min(s, n)$。
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