广西民族大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
七、（20分）
设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，记
$$
W=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}
$$
（1）证明 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)=W$ ；
（2）证明 $\displaystyle V=W \oplus \sigma(V)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 W ⊆ σ^{-1}(0)
任取 β ∈ W，则存在 α ∈ V 使得 β = α - σ(α)。计算 σ(β) = σ(α - σ(α)) = σ(α) - σ²(α)。由于 σ² = σ，所以 σ(α) - σ(α) = 0，故 σ(β)=0，即 β ∈ σ^{-1}(0)。因此 W ⊆ σ^{-1}(0)。
公式：σ² = σ
提示：注意利用幂等性化简
步骤 2/6
目标：证明 σ^{-1}(0) ⊆ W
任取 β ∈ σ^{-1}(0)，即 σ(β)=0。取 α = β，则 β = β - 0 = β - σ(β) = α - σ(α) ∈ W。因此 σ^{-1}(0) ⊆ W。
提示：构造 α = β 是关键
步骤 3/6
目标：结论（1）
由前两步得 σ^{-1}(0) = W。
步骤 4/6
目标：证明 V = W + σ(V)
任取 α ∈ V，则 α = (α - σ(α)) + σ(α)。由于 α - σ(α) ∈ W，σ(α) ∈ σ(V)，所以 α ∈ W + σ(V)。故 V = W + σ(V)。
提示：分解技巧：α = (α - σ(α)) + σ(α)
步骤 5/6
目标：证明 W ∩ σ(V) = {0}
任取 β ∈ W ∩ σ(V)，则存在 α ∈ V 使 β = σ(α)，且存在 γ ∈ V 使 β = γ - σ(γ)。计算 σ(β) = σ(σ(α)) = σ(α) = β；另一方面 σ(β) = σ(γ - σ(γ)) = σ(γ) - σ²(γ) = σ(γ) - σ(γ) = 0。故 β = 0。
公式：σ² = σ
提示：利用两个表达式分别计算 σ(β) 得到矛盾
步骤 6/6
目标：结论（2）
由 V = W + σ(V) 且 W ∩ σ(V) = {0}，得 V = W ⊕ σ(V)。
提示：直和需满足和与交的条件
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