广西民族大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）
设 $\displaystyle A B+C A=0, A=\left(\begin{array}{ccc}9 & -5 & 22 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \left|B+3 E_{3}\right|$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析方程并判断A的可逆性
已知 $A B + C A = 0$，即 $A B = -C A$。首先计算 $A$ 的行列式：$\det A = 9 \cdot 3 \cdot 3 - 0 + 0 = 81 \neq 0$，故 $A$ 可逆。
公式：$\det A \neq 0$ 则 $A$ 可逆
提示：注意计算行列式时不要漏项，A是上三角矩阵，行列式等于对角线乘积。
步骤 2/7
目标：求解B的表达式
由 $A B = -C A$，两边左乘 $A^{-1}$ 得 $B = -A^{-1} C A$。因此 $B$ 与 $-C$ 相似。
公式：$B = -A^{-1} C A$
提示：左乘 $A^{-1}$ 时注意顺序，矩阵乘法不交换。
步骤 3/7
目标：计算A的特征值
计算 $A$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-3)^2(\lambda-9)$，特征值为 $3$（二重）和 $9$。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$ 求解特征值
提示：A是上三角矩阵，特征值即对角线元素，但需验证重数。
步骤 4/7
目标：计算C的特征值
$C = \begin{pmatrix} \frac12 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac12 \end{pmatrix}$ 是对角矩阵，特征值为 $\frac12, 1, -\frac12$。
公式：对角矩阵的特征值即对角线元素
提示：注意C的对角线元素顺序。
步骤 5/7
目标：推导B的特征值
由于 $B$ 与 $-C$ 相似，相似矩阵有相同特征值，故 $B$ 的特征值为 $-\frac12, -1, \frac12$。
公式：相似矩阵特征值相同
提示：注意 $-C$ 的特征值是 $C$ 特征值的相反数。
步骤 6/7
目标：计算B+3E的特征值
若 $\lambda$ 是 $B$ 的特征值，则 $\lambda+3$ 是 $B+3E$ 的特征值。因此 $B+3E$ 的特征值为 $\frac52, 2, \frac72$。
公式：$B+3E$ 的特征值为 $\lambda+3$
提示：注意特征值平移性质。
步骤 7/7
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积：$\det(B+3E) = \frac52 \cdot 2 \cdot \frac72 = \frac{35}{2}$。
公式：$\det(M) = \prod \lambda_i$
提示：乘积计算时注意约分。
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