📝 广西民族大学 2022年高等代数真题
第0题
一、（15 分）
设 $\displaystyle A B+C A=0, A=\left(\begin{array}{ccc}9 & -5 & 22 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \left|B+3 E_{3}\right|$ 。
设 $\displaystyle A B+C A=0, A=\left(\begin{array}{ccc}9 & -5 & 22 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \left|B+3 E_{3}\right|$ 。
第0题
七、（15分）
在欧氏空间 $\displaystyle R^{4}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right) \mid a_{i} \in R\right\}$ 中，其内积定义为
$$
\left\langle\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)\right\rangle=\sum_{i=1}^{4} a_{i} b_{i}
$$
令 $\displaystyle \gamma_{1}=(1,0,0,0), \gamma_{2}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle \gamma_{3}, \gamma_{4} \in R^{4}$ ，使得 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 为 $\displaystyle R^{4}$ 的标准正交基。
在欧氏空间 $\displaystyle R^{4}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right) \mid a_{i} \in R\right\}$ 中，其内积定义为
$$
\left\langle\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)\right\rangle=\sum_{i=1}^{4} a_{i} b_{i}
$$
令 $\displaystyle \gamma_{1}=(1,0,0,0), \gamma_{2}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle \gamma_{3}, \gamma_{4} \in R^{4}$ ，使得 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 为 $\displaystyle R^{4}$ 的标准正交基。
第0题
三、（15 分）
设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ t \\ 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵的特征向量，求 $t$ 的值。
设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ t \\ 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵的特征向量，求 $t$ 的值。
第0题
九、（15 分）
设 $A$ 为三阶实对称矩阵，且满足条件 $\displaystyle A^{2}-4 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ 。
求：（1）$A$ 的所有特征值；
（2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵。
设 $A$ 为三阶实对称矩阵，且满足条件 $\displaystyle A^{2}-4 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ 。
求：（1）$A$ 的所有特征值；
（2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵。
第0题
二、（15 分）
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & -3 & -1 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 0\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的逆。
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & -3 & -1 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 0\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的逆。
第0题
五、（15 分）
设 $V$ 是数域 F 上一个 n 维向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 是其一组基，$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle W_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in \mathrm{~F}, i=1,2, \ldots, n\right\}$ 。
证明：（1）$\displaystyle W_{2}$ 是 $V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ 。
设 $V$ 是数域 F 上一个 n 维向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 是其一组基，$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle W_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in \mathrm{~F}, i=1,2, \ldots, n\right\}$ 。
证明：（1）$\displaystyle W_{2}$ 是 $V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ 。
第0题
八、（15 分）
证明：次数大于零的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是某一个不可约多项式方幂的充分必要条件是对任意的多项式 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或存在某一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．
证明：次数大于零的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是某一个不可约多项式方幂的充分必要条件是对任意的多项式 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或存在某一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．
第0题
六、（15分）
设 $A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的三维列向量，且满足
$$
A \alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, A \alpha_{2}=4 \alpha_{1}+\alpha_{2}, A \alpha_{3}=\alpha_{3}
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征值；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵。
设 $A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的三维列向量，且满足
$$
A \alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, A \alpha_{2}=4 \alpha_{1}+\alpha_{2}, A \alpha_{3}=\alpha_{3}
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征值；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵。
第0题
十、（15 分）
已知 $A$ 是复数域 $n$ 阶方阵，则存在唯一 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ，其中
$$
A_{1}=U\left[\begin{array}{ll}
T & S \\
0 & 0
\end{array}\right] U^{H}, A_{2}=U\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & N
\end{array}\right] U^{H},
$$
$\displaystyle T \in \mathbb{C}^{r \times r}$ 是可逆的，$\displaystyle N \in \mathbb{C}^{(m-r) \times(m-r)}, N^{k}=0, U$ 是可逆的且满足 $\displaystyle U^{-1}=U^{H}$ 。
（1）求 $\displaystyle A^{k}$ 的秩；
（2）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, r(X)=r$ 的解；
（3）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, X A X=X,(A X)^{H}=A X, r(X)=r$ 的解。
已知 $A$ 是复数域 $n$ 阶方阵，则存在唯一 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ，其中
$$
A_{1}=U\left[\begin{array}{ll}
T & S \\
0 & 0
\end{array}\right] U^{H}, A_{2}=U\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & N
\end{array}\right] U^{H},
$$
$\displaystyle T \in \mathbb{C}^{r \times r}$ 是可逆的，$\displaystyle N \in \mathbb{C}^{(m-r) \times(m-r)}, N^{k}=0, U$ 是可逆的且满足 $\displaystyle U^{-1}=U^{H}$ 。
（1）求 $\displaystyle A^{k}$ 的秩；
（2）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, r(X)=r$ 的解；
（3）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, X A X=X,(A X)^{H}=A X, r(X)=r$ 的解。
第0题
四、（15 分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 是非齐次线性方程组的一组解，则 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{t} \alpha_{t}$ 也是该非齐次线性方程组的一组解的充要条件是 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1$ 。
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 是非齐次线性方程组的一组解，则 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{t} \alpha_{t}$ 也是该非齐次线性方程组的一组解的充要条件是 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1$ 。