广西民族大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
六、（15分）
设 $A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的三维列向量，且满足
$$
A \alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, A \alpha_{2}=4 \alpha_{1}+\alpha_{2}, A \alpha_{3}=\alpha_{3}
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征值；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求矩阵B
由条件 $A\alpha_1 = \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$, $A\alpha_2 = 4\alpha_1+\alpha_2$, $A\alpha_3 = \alpha_3$，得 $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, 4\alpha_1+\alpha_2, \alpha_3)$。设 $B=(b_{ij})$，则 $(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, 4\alpha_1+\alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)B$。由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，比较系数得 $b_{11}=1,b_{21}=1,b_{31}=1$；$b_{12}=4,b_{22}=1,b_{32}=0$；$b_{13}=0,b_{23}=0,b_{33}=1$。因此 $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)B$
提示：注意系数对应时，$B$ 的第 $j$ 列是 $A\alpha_j$ 在基 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 下的坐标，不要混淆行和列。
步骤 2/6
目标：求A的特征值
由于 $A$ 与 $B$ 相似（$A = PBP^{-1}$，其中 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆），故 $A$ 的特征值与 $B$ 相同。计算 $B$ 的特征多项式：$|\lambda I - B| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -4 & 0 \\ -1 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)\begin{vmatrix} \lambda-1 & -4 \\ -1 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)[(\lambda-1)^2-4] = (\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda-3) = (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda+1)$。所以特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=3, \lambda_3=-1$。
公式：$|\lambda I - B| = (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda+1)$
提示：计算行列式时，利用第一行或第一列展开简化，注意符号。
步骤 3/6
目标：求B的特征向量
对于 $\lambda=1$：解 $(I-B)x=0$，得 $x_2=0, x_1=0$，$x_3$ 自由，取 $\xi_1=(0,0,1)^T$。
对于 $\lambda=3$：解 $(3I-B)x=0$，得 $x_1=2x_2, x_1=2x_3$，取 $x_2=1$，得 $\xi_2=(2,1,1)^T$。
对于 $\lambda=-1$：解 $(-I-B)x=0$，得 $x_1=-2x_2, x_1=-2x_3$，取 $x_2=1$，得 $\xi_3=(-2,1,1)^T$。
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，确保特征向量非零。
步骤 4/6
目标：构造可逆矩阵Q
令 $Q = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，则 $Q^{-1}BQ = \operatorname{diag}(1,3,-1)$。
公式：$Q^{-1}BQ = \Lambda$
提示：特征向量的顺序要与对角矩阵中特征值的顺序一致。
步骤 5/6
目标：求原矩阵A的相似对角化矩阵P
由于 $A = PBP^{-1}$，其中 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，则 $P^{-1}AP = B$。若取 $P_1 = PQ = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)Q$，则 $P_1^{-1}AP_1 = Q^{-1}P^{-1}APQ = Q^{-1}BQ = \Lambda$。计算 $P_1 = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = (\alpha_3, 2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, -2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)$。
公式：$P_1 = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)Q$
提示：注意矩阵乘法的顺序：$P_1$ 的列是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的线性组合，组合系数来自 $Q$ 的列。
步骤 6/6
目标：总结答案
(1) $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
(2) 特征值为 $1, 3, -1$.
(3) $P = (\alpha_3, 2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, -2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)$，使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,3,-1)$.
提示：最终答案中的 $P$ 是 $P_1$，注意不要与题目中的 $P$ 混淆。
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