广西民族大学 2022年高等代数第0题

题目要求证明：次数大于零的多项式 $f(x)$ 是某个不可约多项式方幂的充分必要条件是：对任意多项式 $g(x)$，要么 $(f(x), g(x))=1$，要么存在正整数 $m$ 使得 $f(x) \mid g^m(x)$。

假设 $f(x)=p^k(x)$，其中 $p(x)$ 是不可约多项式，$k\geq 1$。对任意多项式 $g(x)$，考虑两种情况： - 若 $p(x) \nmid g(x)$，则 $(p(x), g(x))=1$，从而 $(f(x), g(x))=1$。 - 若 $p(x) \mid g(x)$，则 $g(x)=p^t(x)h(x)$，其中 $t\geq 1$，$p(x) \nmid h(x)$。取 $m=k$，则 $g^m(x)=p^{tm}(x)h^m(x)$，由于 $tm\geq k$，故 $f(x)=p^k(x) \mid g^m(x)$。

因此，在 $f(x)=p^k(x)$ 的情况下，对任意 $g(x)$，要么 $(f,g)=1$，要么 $f\mid g^k$。必要性得证。

假设对任意 $g(x)$，要么 $(f,g)=1$，要么存在 $m$ 使得 $f\mid g^m$。我们要证明 $f$ 是某个不可约多项式的方幂。用反证法：假设 $f$ 不是不可约多项式的方幂，则 $f$ 至少有两个不同的不可约因子。

设 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的一个不可约因子，且 $p(x)$ 在 $f(x)$ 中的重数为 $r\geq 1$。令 $f(x)=p^r(x)q(x)$，其中 $p(x)\nmid q(x)$，且 $q(x)$ 次数大于0（因为 $f$ 不是 $p$ 的方幂）。取 $g(x)=q(x)$。则 $(f(x), g(x))$ 包含 $q(x)$ 的因子，但 $p(x)\nmid g(x)$，所以 $(f(x), g(x))$ 是 $q(x)$ 的真因子，不等于1。另一方面，若存在 $m$ 使得 $f(x)\mid g^m(x)$，即 $p^r(x)q(x)\mid q^m(x)$，则 $p^r(x)\mid q^m(x)$，但 $p(x)\nmid q(x)$，矛盾。因此条件不成立。

反证法假设导致矛盾，因此 $f(x)$ 必为某个不可约多项式的方幂。充分性得证。

综上，必要性显然，充分性用反证法。因此，次数大于零的多项式 $f(x)$ 是某一个不可约多项式方幂的充分必要条件是对任意的多项式 $g(x)$ 有 $(f(x), g(x))=1$ 或存在某一个正整数 $m$ 使得 $f(x) \mid g^{m}(x)$。