广西民族大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）
设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ t \\ 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵的特征向量，求 $t$ 的值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征向量定义建立方程
设 $\alpha$ 是 $A^{-1}$ 的特征向量，则存在特征值 $\lambda$ 使得 $A^{-1}\alpha = \lambda \alpha$。两边左乘 $A$ 得 $\alpha = \lambda A\alpha$，即 $A\alpha = \frac{1}{\lambda} \alpha$，所以 $\alpha$ 也是 $A$ 的特征向量，且特征值为 $\mu = \frac{1}{\lambda}$。
公式：A^{-1}\alpha = \lambda \alpha \Rightarrow A\alpha = \frac{1}{\lambda}\alpha
提示：注意逆矩阵的特征值是原矩阵特征值的倒数，但特征向量相同。
步骤 2/6
目标：计算Aα
计算 $A\alpha$：
$$A\alpha = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + t \\ 1 + 2t + 1 \\ t + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+2 \\ 2t+2 \\ t+2 \end{pmatrix}.$$
提示：矩阵乘法要仔细，注意第二分量计算：1*1 + 2*t + 1*1 = 1+2t+1=2t+2。
步骤 3/6
目标：利用特征向量关系列方程
由于 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，存在 $\mu$ 使得 $A\alpha = \mu \alpha$，即
$$\begin{pmatrix} t+2 \\ 2t+2 \\ t+2 \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 1 \end{pmatrix}.$$
公式：A\alpha = \mu \alpha
提示：注意特征向量定义中，向量各分量成比例。
步骤 4/6
目标：比较分量得到方程
比较第一和第三分量得 $t+2 = \mu$，代入第二分量得 $2t+2 = \mu t = (t+2)t$，即 $2t+2 = t^2+2t$。
提示：第一和第三分量相同，所以得到 $\mu = t+2$，代入第二分量时注意不要遗漏。
步骤 5/6
目标：化简方程求解t
化简 $2t+2 = t^2+2t$，两边减去 $2t$ 得 $2 = t^2$，所以 $t = \pm \sqrt{2}$。
提示：化简时注意消去 $2t$ 项，不要误以为 $t=0$ 是解。
步骤 6/6
目标：给出最终答案
因此 $t$ 的值为 $\sqrt{2}$ 或 $-\sqrt{2}$。
提示：答案应写为 $t = \pm \sqrt{2}$。
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