广西民族大学 2022年高等代数第0题

十、（15 分） 已知 $A$ 是复数域 $n$ 阶方阵，则存在唯一 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ，其中 $$ A_{1}=U\left[\begin{array}{ll} T & S \\ 0 & 0 \end{array}\right] U^{H}, A_{2}=U\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & N \end{array}\right] U^{H}, $$ $\displaystyle T \in \mathbb{C}^{r \times r}$ 是可逆的，$\displaystyle N \in \mathbb{C}^{(m-r) \times(m-r)}, N^{k}=0, U$ 是可逆的且满足 $\displaystyle U^{-1}=U^{H}$ 。 （1）求 $\displaystyle A^{k}$ 的秩； （2）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, r(X)=r$ 的解； （3）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, X A X=X,(A X)^{H}=A X, r(X)=r$ 的解。