广西民族大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 是非齐次线性方程组的一组解，则 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{t} \alpha_{t}$ 也是该非齐次线性方程组的一组解的充要条件是 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定非齐次线性方程组
设非齐次线性方程组为 $Ax = b$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$b \neq 0$。已知 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_t$ 是解，即 $A\alpha_i = b$ 对 $i=1,\ldots,t$ 成立。
公式：Ax = b
提示：注意 $b \neq 0$，否则是齐次方程组。
步骤 2/5
目标：必要性：假设线性组合是解，推导系数和条件
若 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_t\alpha_t$ 也是解，则 $A\left(\sum_{i=1}^t k_i\alpha_i\right) = b$。左边 $= \sum_{i=1}^t k_i A\alpha_i = \sum_{i=1}^t k_i b = \left(\sum_{i=1}^t k_i\right) b$。于是 $\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) b = b$。
公式：A(∑k_i α_i) = (∑k_i) b
提示：注意矩阵乘法线性性质的应用。
步骤 3/5
目标：必要性：由非零向量推出系数和等于1
由于 $b \neq 0$，等式两边同时左乘（或比较）得 $\sum_{i=1}^t k_i = 1$。
提示：只有当 $b \neq 0$ 时才能推出系数和为1，若 $b=0$ 则任意系数和都成立。
步骤 4/5
目标：充分性：假设系数和等于1，验证线性组合是解
若 $\sum_{i=1}^t k_i = 1$，则 $A\left(\sum_{i=1}^t k_i\alpha_i\right) = \sum_{i=1}^t k_i A\alpha_i = \sum_{i=1}^t k_i b = \left(\sum_{i=1}^t k_i\right) b = 1 \cdot b = b$。因此 $\sum_{i=1}^t k_i\alpha_i$ 是解。
公式：A(∑k_i α_i) = (∑k_i) b
提示：充分性不需要 $b \neq 0$，但题目中 $b \neq 0$ 是隐含的。
步骤 5/5
目标：总结充要条件
综上，$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_t\alpha_t$ 也是该非齐次线性方程组的一组解的充要条件是 $k_1 + k_2 + \cdots + k_t = 1$。
提示：注意区分齐次与非齐次方程组解的性质。
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