广西民族大学 2022年高等代数第0题

五、（15 分） 设 $V$ 是数域 F 上一个 n 维向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 是其一组基，$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle W_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in \mathrm{~F}, i=1,2, \ldots, n\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle W_{2}$ 是 $V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ 。