广西民族大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
七、（15分）
在欧氏空间 $\displaystyle R^{4}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right) \mid a_{i} \in R\right\}$ 中，其内积定义为
$$
\left\langle\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)\right\rangle=\sum_{i=1}^{4} a_{i} b_{i}
$$
令 $\displaystyle \gamma_{1}=(1,0,0,0), \gamma_{2}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle \gamma_{3}, \gamma_{4} \in R^{4}$ ，使得 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 为 $\displaystyle R^{4}$ 的标准正交基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证已知向量是标准正交的
计算内积：$\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle = 1\cdot0 + 0\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 0$，所以正交。计算范数：$\|\gamma_1\| = 1$，$\|\gamma_2\| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}} = 1$，所以单位化。因此 $\gamma_1, \gamma_2$ 已是标准正交向量。
公式：$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \sum_{i=1}^4 u_i v_i$
提示：注意内积定义和范数计算，确保平方和开方正确。
步骤 2/6
目标：构造与 $\gamma_1, \gamma_2$ 正交的向量 $v_3$
设 $v_3 = (x_1, x_2, x_3, x_4)$，由正交条件：$\langle v_3, \gamma_1 \rangle = x_1 = 0$，$\langle v_3, \gamma_2 \rangle = \frac{1}{2}x_2 + \frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{\sqrt{2}}x_4 = 0$。取 $x_2 = 1, x_3 = -1, x_4 = 0$，得 $v_3 = (0, 1, -1, 0)$。
提示：自由变量可任意选取，但需保证与后续向量线性无关。
步骤 3/6
目标：构造与 $\gamma_1, \gamma_2, v_3$ 正交的向量 $v_4$
设 $v_4 = (y_1, y_2, y_3, y_4)$，由正交条件：$y_1 = 0$，$\frac{1}{2}y_2 + \frac{1}{2}y_3 + \frac{1}{\sqrt{2}}y_4 = 0$，$\langle v_4, v_3 \rangle = y_2 - y_3 = 0$，所以 $y_2 = y_3$。代入第二式得 $y_2 + \frac{1}{\sqrt{2}}y_4 = 0$，取 $y_2 = 1$，则 $y_4 = -\sqrt{2}$，得 $v_4 = (0, 1, 1, -\sqrt{2})$。
提示：注意解线性方程组时，确保 $v_4$ 与 $v_3$ 正交。
步骤 4/6
目标：单位化 $v_3$ 得到 $\gamma_3$
计算 $v_3$ 的范数：$\|v_3\| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{2}$。单位化得 $\gamma_3 = \frac{v_3}{\|v_3\|} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$。
公式：$\gamma = \frac{v}{\|v\|}$
提示：单位化时注意分母有理化，但此处保留 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 形式即可。
步骤 5/6
目标：单位化 $v_4$ 得到 $\gamma_4$
计算 $v_4$ 的范数：$\|v_4\| = \sqrt{0^2+1^2+1^2+(-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+1+2} = 2$。单位化得 $\gamma_4 = \frac{v_4}{\|v_4\|} = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$。
公式：$\gamma = \frac{v}{\|v\|}$
提示：注意 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 可写为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，但保持形式一致。
步骤 6/6
目标：验证所得向量构成标准正交基
检查正交性：$\langle \gamma_3, \gamma_1 \rangle = 0$，$\langle \gamma_3, \gamma_2 \rangle = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot0 = 0$，$\langle \gamma_3, \gamma_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2} + (-\frac{1}{\sqrt{2}})\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$，$\langle \gamma_4, \gamma_1 \rangle = 0$，$\langle \gamma_4, \gamma_2 \rangle = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=0$。范数均为1。因此 $\{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4\}$ 是标准正交基。
提示：验证可确保计算无误，但题目不要求写出验证步骤。
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