广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）
$\displaystyle m, p, q$ 适合什么条件时，有
$$
x^{2}+m x-1 \mid x^{3}+p x+q .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并设多项式
设 $f(x)=x^3+px+q$, $g(x)=x^2+mx-1$。题目要求 $g(x)$ 整除 $f(x)$，即存在多项式 $h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$。由于 $g(x)$ 是二次多项式，$f(x)$ 是三次多项式，因此 $h(x)$ 必为一次多项式，设为 $ax+b$，其中 $a \neq 0$。
提示：注意整除的定义：存在多项式使得等式成立。
步骤 2/5
目标：展开乘积并比较系数
将 $f(x) = (ax+b)(x^2+mx-1)$ 展开：
$$(ax+b)(x^2+mx-1) = a x^3 + (am+b) x^2 + (-a+bm) x - b.$$
公式：多项式乘法展开
提示：展开时注意各项的系数，特别是常数项和一次项。
步骤 3/5
目标：建立方程组
将展开式与 $f(x)=x^3+px+q$ 比较系数，得到方程组：
$$
\begin{cases}
a = 1, \\
am+b = 0, \\
-a+bm = p, \\
-b = q.
\end{cases}
$$
公式：多项式相等则对应系数相等
提示：注意常数项对应 $-b$ 等于 $q$，不要漏掉负号。
步骤 4/5
目标：求解参数关系
由 $a=1$ 代入第二个方程得 $m+b=0$，即 $b=-m$。代入第三个方程：$-1 + m(-m) = p$，即 $p = -1 - m^2$。代入第四个方程：$-(-m) = q$，即 $q = m$。
提示：代入时注意符号，$b=-m$ 代入 $-a+bm$ 时 $bm = m(-m) = -m^2$。
步骤 5/5
目标：得出整除条件
因此，当 $p = -1 - m^2$ 且 $q = m$ 时，有 $g(x) \mid f(x)$。
提示：条件必须同时满足，缺一不可。
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