📝 广西民族大学 2023年高等代数真题
第0题
一、（15 分）
$\displaystyle m, p, q$ 适合什么条件时，有
$$
x^{2}+m x-1 \mid x^{3}+p x+q .
$$
$\displaystyle m, p, q$ 适合什么条件时，有
$$
x^{2}+m x-1 \mid x^{3}+p x+q .
$$
第0题
七、（15 分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且
$$
\sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} .
$$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换；
（2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且
$$
\sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} .
$$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换；
（2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。
第0题
三、（15 分）
$\displaystyle a, b$ 取什么值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1, \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a, \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3, \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=b,
\end{array}\right.
$$
有解？在有解的情形，求一般解。
$\displaystyle a, b$ 取什么值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1, \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a, \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3, \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=b,
\end{array}\right.
$$
有解？在有解的情形，求一般解。
第0题
九、（15 分）
设 $\displaystyle V=C^{4}$（ $C$ 为复数域），$f$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 是 $V$ 的一组基，而
$$
\begin{aligned}
& f\left(e_{1}\right)=e_{1}+2 e_{2}+6 e_{3}+7 e_{4}, f\left(e_{2}\right)=-2 e_{1}-4 e_{2}-12 e_{3}-14 e_{4}, \\
& f\left(e_{3}\right)=3 e_{1}+5 e_{2}+17 e_{3}+18 e_{4}, f\left(e_{4}\right)=-4 e_{1}+7 e_{2}-9 e_{3}+17 e_{4},
\end{aligned}
$$
求 $f$ 的核 $\displaystyle f^{-1}(0)$ 的一组基和维数．
设 $\displaystyle V=C^{4}$（ $C$ 为复数域），$f$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 是 $V$ 的一组基，而
$$
\begin{aligned}
& f\left(e_{1}\right)=e_{1}+2 e_{2}+6 e_{3}+7 e_{4}, f\left(e_{2}\right)=-2 e_{1}-4 e_{2}-12 e_{3}-14 e_{4}, \\
& f\left(e_{3}\right)=3 e_{1}+5 e_{2}+17 e_{3}+18 e_{4}, f\left(e_{4}\right)=-4 e_{1}+7 e_{2}-9 e_{3}+17 e_{4},
\end{aligned}
$$
求 $f$ 的核 $\displaystyle f^{-1}(0)$ 的一组基和维数．
第0题
二、（15 分）
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccccc}x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x\end{array}\right|$ ．
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccccc}x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x\end{array}\right|$ ．
第0题
五、（15 分）
化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3} .
$$
化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3} .
$$
第0题
八、（15 分）
设 $R$ 是实数域，集合
$$
V=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & a & b \\
0 & 0 & a
\end{array}\right] \right\rvert\, a, b, c \in R\right\} .
$$
（1）证明：$V$ 是 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个线性子空间；
（2）对任意 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{1}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 0 & b_{1} & b_{2} \\ 0 & 0 & b_{1}\end{array}\right] \in V$ ，定义二元函数
$$
(A, B)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3},
$$
则 $V$ 是一个欧式空间．
设 $R$ 是实数域，集合
$$
V=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & a & b \\
0 & 0 & a
\end{array}\right] \right\rvert\, a, b, c \in R\right\} .
$$
（1）证明：$V$ 是 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个线性子空间；
（2）对任意 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{1}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 0 & b_{1} & b_{2} \\ 0 & 0 & b_{1}\end{array}\right] \in V$ ，定义二元函数
$$
(A, B)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3},
$$
则 $V$ 是一个欧式空间．
第0题
六、（15 分）
已知向量空间
$$
V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\},
$$
（1）求 $V$ 的一组基和维数；
（2）求 $V$ 的一组标准正交基．
已知向量空间
$$
V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\},
$$
（1）求 $V$ 的一组基和维数；
（2）求 $V$ 的一组标准正交基．
第0题
十、（15 分）
已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间
$$
W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} .
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为
$$
(A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right),
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ．
（1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基；
（2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换；
（4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。
已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间
$$
W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} .
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为
$$
(A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right),
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ．
（1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基；
（2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换；
（4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。
第0题
四、（15 分）
已知矩阵：$\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A$ 的逆矩阵．
已知矩阵：$\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A$ 的逆矩阵．