广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
九、（15 分）
设 $\displaystyle V=C^{4}$（ $C$ 为复数域），$f$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 是 $V$ 的一组基，而
$$
\begin{aligned}
& f\left(e_{1}\right)=e_{1}+2 e_{2}+6 e_{3}+7 e_{4}, f\left(e_{2}\right)=-2 e_{1}-4 e_{2}-12 e_{3}-14 e_{4}, \\
& f\left(e_{3}\right)=3 e_{1}+5 e_{2}+17 e_{3}+18 e_{4}, f\left(e_{4}\right)=-4 e_{1}+7 e_{2}-9 e_{3}+17 e_{4},
\end{aligned}
$$
求 $f$ 的核 $\displaystyle f^{-1}(0)$ 的一组基和维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出线性变换在给定基下的矩阵
线性变换 $f$ 在基 $e_1,e_2,e_3,e_4$ 下的矩阵 $A$ 的列向量是 $f(e_j)$ 在该基下的坐标。由已知条件得：
$$A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -4 \\
2 & -4 & 5 & 7 \\
6 & -12 & 17 & -9 \\
7 & -14 & 18 & 17
\end{pmatrix}.$$
提示：注意矩阵的列对应基向量的像的坐标，不要混淆行和列。
步骤 2/6
目标：将核问题转化为齐次线性方程组
核 $f^{-1}(0)$ 是满足 $f(\mathbf{x})=0$ 的向量 $\mathbf{x}$ 的集合。设 $\mathbf{x}=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4$，则 $f(\mathbf{x})$ 在基下的坐标为 $A\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$。因此核是齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的解空间。
提示：理解核的定义：所有被映射为零向量的原像。
步骤 3/6
目标：对矩阵进行行化简
对 $A$ 进行行化简：
$$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -4 \\
2 & -4 & 5 & 7 \\
6 & -12 & 17 & -9 \\
7 & -14 & 18 & 17
\end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-6R_1, R_4-7R_1}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -4 \\
0 & 0 & -1 & 15 \\
0 & 0 & -1 & 15 \\
0 & 0 & -3 & 45
\end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_3-R_2, R_4-3R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & -4 \\
0 & 0 & -1 & 15 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_1+3R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 41 \\
0 & 0 & -1 & 15 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
得到行最简形：
$$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 41 \\
0 & 0 & 1 & -15 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
提示：行化简时注意每一步的初等变换，避免计算错误。特别是第三行和第四行的化简。
步骤 4/6
目标：写出等价方程组并确定自由变量
由行最简形得到等价方程组：
$$\begin{cases}
x_1 - 2x_2 + 41x_4 = 0 \\
x_3 - 15x_4 = 0
\end{cases}$$
主变量为 $x_1, x_3$，自由变量为 $x_2, x_4$。
提示：注意主变量对应阶梯矩阵中每行第一个非零元所在的列。
步骤 5/6
目标：求解基础解系
令自由变量 $x_2=1, x_4=0$，代入方程组得 $x_1=2, x_3=0$，得到解向量 $\alpha_1 = (2,1,0,0)^T$。
令 $x_2=0, x_4=1$，得 $x_1=-41, x_3=15$，得到解向量 $\alpha_2 = (-41,0,15,1)^T$。
因此基础解系为 $\{\alpha_1, \alpha_2\}$。
提示：自由变量的赋值通常取线性无关的向量，如 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。
步骤 6/6
目标：将解向量表示为基下的向量
将坐标向量还原为 $V$ 中的向量：
$$\xi_1 = 2e_1 + e_2, \quad \xi_2 = -41e_1 + 15e_3 + e_4.$$
因此核的一组基为 $\{\xi_1, \xi_2\}$，维数为 $2$。
提示：注意坐标与基向量的对应关系，不要遗漏基向量。
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